Matrice A à la puissance n

[invite385eddfd]

salut a tous


J'aurais besoin d'un petit coup de main!!!


voila la matrice A
(2 1 1)
(1 2 1) appartient a M₃(R) , n appartient a N
(0 0 3)


JE DOIT CALCULER Aⁿ ??

merci d'avance !
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[invite899aa2b3]

As-tu regardé si est diagonalisable ?

[invite11916bb0]

tu diagonalises A, tu auras A=P^-1 D P, donc A^n=P^-1 D^n P.
Mais c'est vrai que les calculs sont longs et chiant : calculer les vp, puis trouver les vecteurs propres, donc tu as P, puis tu recalcules P^-1 D^n P, bonne chance !

[invite57a1e779]

Le polynôme caractéristique est :



avec :



de rang 2, donc A n'est pas diagonalisable.

Pour tout polynôme on dispose de la division euclidienne de par : , avec de degré au plus 2, donc de la forme : .

L'évaluation en 3 fournit : .

L'évaluation en 1 fournit : .

Par dérivation : avec 3 racine double de donc racine de , et l'évaluation en 3 fournit : .

On en déduit donc : , , .

En particulier, pour : , et l'évaluation en fournit :

[A voir en vidéo sur Futura]

[sylvainc2]

On peut aussi mettre A à la forme de Jordan J (puisque A pas diagonalisable), alors A^n = P J^n P^-1, P est la matrice de passage.
On pose J=D+N où D est diagonale et N est nilpotente: J^n = (D+N)^n. On développe le côté droit avec le binôme de Newton. Puisque N est nilpotente et 3x3 on va garder au maximum 3 termes, et ici en fait c'est 2 termes car N^2=0. Donc J^n = D^n + n D^(n-1) N.
Alors A^n = P (D^n+n D^(n-1) N) P^-1.

Les calculs sont un petit peu plus longs et chiants que si A était diagonalisable effectivement