Sous anneaux, besoin d'explications.

[inviteaa7fccc7]

Bonjour a tous,

je suis en train d'etudier les groupes, anneaux et corps, et quelque chose m'arrete dans la définition d'un sous anneau. Voici la définition d'un sous anneaux que j'ai ...

Soit (A, +, ×) un anneau. Soit B ⊂ A. (B, +, ×)
est un sous-anneau de (A, +, ×) Ssi
• (B, +) est un sous groupe de (A, +)
• 1∈ B

Et maintenant une propriété qui me dit que
B est un sous-anneau de (A, +, .) si et seulement si*:
1. ∀ x, y ∈ B, (x – y) ∈ B.
2. ∀ x, y ∈ B, x.y ∈ B.

Je n'arrive pas a comprendre pourquoi on a cette propriété ...
Quelqu'un peut-il m'aider a mieux comprendre celle-ci, en quoi elle prouve que B est un sous anneaux ?


Merci beaucoup.
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[invite57a1e779]

Soit (A, +, ×) un anneau. Soit B ⊂ A. (B, +, ×)
est un sous-anneau de (A, +, ×) Ssi
• (B, +) est un sous groupe de (A, +)
• 1∈ B

Ceci n'est pas la définition d'un sous-anneau : avec A=K[X], anneau des polynômes à une indéterminée à coefficients dans le corps K et B le sous-ensemble des polynômes de degré au plus 1. Les propriétés ci-dessus sont satisfaites, mais B n'est pas un sous-anneau de A.

une propriété qui me dit que
B est un sous-anneau de (A, +, .) si et seulement si*:
1. ∀ x, y ∈ B, (x – y) ∈ B.
2. ∀ x, y ∈ B, x.y ∈ B.

Ceci ne caractérise pas plus un sous-anneau : ces propriétés sont satisfaites pour A=Z et B=2Z, mais B n'est pas un sous-anneau de A.

[Tiky]

Bonjour,

La propriété est fausse. Déjà B peut être vide et vérifier ces hypothèses. Mais aussi B peut ne pas contenir 1.
Il faut donc rajouter la propriété pour être cohérent avec la définition au-dessus.