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forme tirgonométrique et exponentielle



  1. #1
    Leonpolou

    forme tirgonométrique et exponentielle


    ------

    Salut all, je suis dans les nombres complexes en ce moment.

    Voila j' ai ca a résoudre

    Prouver que Zpuissance5=1 a 5 solution (on cherchera la forme trigo de Z)

    On appelle w le nombre e puissance (2ipi)/5, exprimer en fonction de w les solutions de l' équation
    Quelle est la somme de ces solution?

    Alors moi j' ai fais ça,

    a vrai dire je n' ai trouver que deux solution
    le nombre de forme (1; 2pi) et le nombre (-1; -pi)

    Apres je bloke, comment on fait pour s' en sortir de ça?

    -----

  2. #2
    Ravioli

    Re : forme tirgonométrique et exponentielle

    Allons allons, pas de panique ... Regarde dans ton cours de math de sup, c'est un exemple de cours ! ( en principe ... ) .

  3. #3
    teteph

    Re : forme tirgonométrique et exponentielle

    Les racines 5ième de l'unité ?
    C dans le cours de sup comme a dit Ravioli

  4. #4
    42FiFi42

    Re : forme tirgonométrique et exponentielle

    c'est ce qu'on appelle les racine 5ieme de l'unité, elles sont de la forme ek*2Pi / 5
    plus généralement on a les racines n-iemes de l'unité qui s'écrivent :
    ek*2Pi / n

    pour le retrouver tu pose :

    rei*w = Z

    Z5 = 1 donc r = 1

    on a aussi :
    Z5 = (ei*w)5 = ei*w*5

    et tu sait que 1 = e0 et que l'exposant d'un complex se defini modulo 2*Pi ce qui nous donne la congruance :

    w*5 0 [2*Pi] ce qui je te rapelle s'écrit aussi :

    w*5 = 0+ k*2Pi avec k entier la tu a donc :

    w = k* (2*Pi /5)

    apré te reste a montré que il y en a 5 (modulo 2Pi)

    juste une petite remarque pour t'aider, tu peut les représenter sur le cercle trigonométrique, c'est le pentagone régulier qui a 1 comme sommet

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Leonpolou

    Re : forme tirgonométrique et exponentielle

    Salut, euh y' a certain truc que je ne comprends pas

    Tout d' abord, je tiens a présciser que je suis en TS donc la sup lol

    De plus je suis en spé physique alors la congruance re


    J' ai un peu suivi ton raisonnement mais y' a un truc que je capte pas.

    Par contrre quand tu pose e puissance iw, comment tu fais pour mettre faire e puissance e??

    Merci tout de même j' essaie d' éclaircir ça
    Sinon ouais je me doutais bien que c' etait un poligone le nom de l' exo est le pentagone régulier

  7. #6
    Leonpolou

    Re : forme tirgonométrique et exponentielle

    les solutions ne serait -elles pas 2pi/5 4pi/5 6pi/5 8pi/5 2pi ???

  8. #7
    Leonpolou

    Re : forme tirgonométrique et exponentielle

    rhaa j' ai pas pu éditer.

    Bon ouais sinon les exponentielle on ne les a pas trop vu pour l' instant alors voila.

    Comment tu fais pour passer d' un nombre complexe de forme e^ quelquechose a un nombre normal?

    parce que si j' ai bien compris ton raisonnement

    a la base on a w= e^(2ipi/5) pui a la fin on a w=k*(2pi/5)

  9. #8
    Ravioli

    Re : forme tirgonométrique et exponentielle

    Je vais reprendre le raisonnement en essayant d'être clair.

    Tout nombre complexe peut être écrit sous forme exponentielle, d'accord ?

    donc quand tu as Z^5=1 , tu poses Z=r*e(iw) (forme générale d'un nombre avec r et w réels).

    => r^5*e(i5w)=1=e(0)

    tu écris les égalité des arguments et des modules :

    r^5=1 => r=1
    5w=2kPi , k appartenant à Z


    donc l'ensemble des solutions est Z=e(i2kPi/5)

    Et le tour est joué !!!

  10. #9
    Leonpolou

    Re : forme tirgonométrique et exponentielle

    oki merci beaucoup.

    Je pense que vue la forme du pentagone mais solutions sont donc juste.

  11. #10
    Leonpolou

    Re : forme tirgonométrique et exponentielle

    Je dois calculer la somme des terms, mais etant donnéq ue je ne connais pas la value de cos 2pi/5 ou 4pi/5, est ce que vu que se sont des solutions de Z^5, je peux admettre que

    e^(2pi/5)=1?

  12. #11
    matthias

    Re : forme tirgonométrique et exponentielle

    Citation Envoyé par Leonpolou
    Je dois calculer la somme des terms, mais etant donnéq ue je ne connais pas la value de cos 2pi/5 ou 4pi/5, est ce que vu que se sont des solutions de Z^5, je peux admettre que

    e^(2pi/5)=1?
    Je te le déconseille fortement étant donné que c'est FAUX.
    Par contre tu peux penser à la somme des termes d'une suite géométrique ....

  13. #12
    Leonpolou

    Re : forme tirgonométrique et exponentielle

    Salut, oui je vois ce que tu veux dire


    la suite donne ça??

    soit U0= e^(i2pi/5)

    Un+1=Un*U0

    Soit Un=U0*U0^n, c' est ça?

  14. #13
    Leonpolou

    Re : forme tirgonométrique et exponentielle

    Arf mais si je le fais en fonction de w

    ca me fait
    w+w²+w^3+w^4+w^5=(w-w^n+2)/(1-w) ??

    Le problème voila c' est que mes solution a l' équation Z^5=1 sont w w² w^3 w^4 et w^5 ou (w)^5=1 etc..?

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