bonjour,
en cours on a vu les sytèmes différentiels
j'arrive à trouver la solution générale mais comment trouver la solution particulière?
on a parler de méthode de variation de la constante si on a la solution générale mais comment faire?
par exemple ce système
x'=x+y+sin(t)
y'=-x+3y
comment trouver le second membre?
merci de votre aide
Tu as grâce à la solution générale de ton système une matrice de solutions fondamentales 2x2. Ton système se réécrit
Donc Y vérifie
D'abord, résoudre :
x'=x+y
y'=-x+3y
Ce qui donne x et y en fonction de t et de deux constantes.
Ensuite, remplacer les deux constantes par des fonctions inconnues f(t) et g(t)
Reporter x(t) et y(t), qui contiennent maintenant f(t) et g(t), dans le système :
x'=x+y+sin(t)
y'=-x+3y
Simplifier, ce qui conduit à un système de deux équations à deux inconnues que l'on résout.
Une autre méthode plus rapide, mais à condition de subodorer une forme probable de solutions particulières.
Dans le cas de :
x'=x+y+sin(t)
y'=-x+3y
il est probable que l'on peut trouver des solutions particulières de la forme :
y = a.cos(t)+b.sin(t)
avec a et b constantes inconnues.
Reporter dans x = 3y-y'
et dans x' = x+y+sin(t)
simplifier et identifier les coefficients de cos(t) et sin(t), ce qui permet de calculer les valeurs de a et b.
On obtient donc les solutions particulières.
Ajouter ces solutions particulières à la solution générale du système
x'=x+y
y'=-x+3y
