Critère pour l'intersection de deux coniques ?

[inviteb828fde0]

Bonjour,

Je me replonge pour les besoins d'un projet dans les coniques. Ma question porte aujourd'hui sur un critère permettant d'assurer que l'intersection de deux coniques quelconques (a priori dans mon cas, il s'agirait d'ellipses, mais je cherche à vérifier cette info avant) existe ou non.

J'ai beau chercher dans d'anciens livres de prépa, des livres maths de ma BU ou sur Internet, je ne parviens pas à trouver de réponses simples, autres que de me lancer dans la résolution fastidieuse du système défini par les équations des deux coniques.

Je pourrais me contenter dans un premier temps d'un critère permettant d'indiquer si l'intersection des deux coniques est vide ou non. Je n'ai pas forcément besoin de connaître la forme générale des solutions ou leur nombre exact.

Les équations que j'aurais à disposition seraient de la forme

Je pensais partir sur une transformation du repère pour simplifier l'équation d'une des deux ellipses (revenir à la forme canonique pour au moins l'une d'elle), voire même passer à une représentation paramétrique... Mais ça me paraît compliqué de trouver une transformation qui simplifie les deux equations à coup sur.

A vos idées ?

Matthieu
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[phys4]

Je pourrais me contenter dans un premier temps d'un critère permettant d'indiquer si l'intersection des deux coniques est vide ou non. Je n'ai pas forcément besoin de connaître la forme générale des solutions ou leur nombre exact.

Les équations que j'aurais à disposition seraient de la forme

S'il s'agit de deux ellipses, il existe un critère qui utilise la notion d'intérieur et d'extérieur :
Deux ellipses séparées à l’extérieur l'une de l'autre sont telles que tous les points de l'une donne une valeur positive dans l'équation de l'autre et vice versa ( on suppose que les coefficients a et c sont positifs)
Il suffit d'ajouter les deux équations, si le discriminant de la somme est négatif les ellipses sont disjointes.

De même si une ellipse totalement à l'intérieur de l'autre, un point de la petite ellipse donne une valeur négative dans l'équation de l'autre. L'équation différence n'a alors pas de racines si les ellipses sont disjointes.
Conclusion : si les discriminants de la somme ou de la différence des équations sont négatifs, les ellipses sont disjointes.