Approximation affine

[invitebb9bd43a]

Bonjour a tous !
Bon voila j'ai vu la semaine derniere l'approximation affine et j'ai vraiment pas compris... :s (j'étais pas la pendant les exo a cause d'une épreuve de bac sport )

On m'a donc donné comme formule :
f(x)=f(a)+(x-a).f '(a) + (x-a). E(x-a)
avec lim qd x tend vert a E(x-a) = 0

Donc voila je suis content j'au une jolie formule mais je ne vois pas trop comment l'utiliser :s

Je ne vois même pas comment résoudre un exo tout simple que l'on m'a donné :

"Donner l'approximation affine de f(x) = racine carré de (1+x) en 0
En déduire une valeur approchée de racine carré de 0.999"

Je me doute bien qu'il faut remplacer dans la formule mais qu'est ce que le E(x-a) ???

Donc voila si quelqu'un passe par ici et a quelques minutes a me consacrer et peux m'expliquer comment résoudre un exercice de ce style qui doit être plutot simple une fois compris
Merci !
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[invitebb921944]

Salut !
Donc tu as la formule :
f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)E(x-a)
f(x) tu le remplaces par ta fonction, et a vaut 0 (car on veut l'approximation affine en 0)

tu as donc :
racine(1+x)=1+x/(2racine(1+x))+0
maitenant, tu te débrouilles pour avoir racine(1+x) d'un coté et une expression en x de l'autre.
ensuite tu veux approximer la racine de 0.999, tu remplaces donc x par le nombre nécessaire dans racine(1+x) pour avoir racine(0.999), puis tu remplaces évidemment x par ce meme nombre de l'autre coté de l'équation.
Tu as ta valeur approchée !

[invitebb9bd43a]

racine(1+x)=1+x/(2racine(1+x))+0

Donc E(x-a) est un truc tellement minime qu'on le considère comme nul ???


Pour la valeur approchée il suffit de faire :

racine(1+x)=1+x/(2racine(1+x))+0
<=>racine(1+(-0.001))=1+(-0.001)/(2racine(1+(0.001))


Merci bien pour ton aide

[invitebb921944]

En fait, on vous donne cette formule au lycée mais il existe en fait une formule plus générale qui permet d'approximer toute fonction avec autant de précision que tu le désires. (simplement, plus c'est précis et plus il y a de termes dans ta formule).

Au lycée, on fait une approximation à l'ordre 1 et on considère que tout ce qu'il y a après est négligeable, on l'écrit donc sous la forme simplifié (x-a)E(x-a) qui tend vers 0 en a. (mais ce n'est pas vraiment égal à 0, on le néglige simplement).

Par contre, il est possible que ton prof te demande une approximation en vous interdisant la calculette, dans ce cas il aurait été judicieux de multiplier toute ton expression par 2racine(1-x), tu obtiens alors :

racine(1+x)=1+x-x/2
racine(0.999)=1-0.001+0.001/2, ce qui se fait de tête sans problème.
Voila voila !

[A voir en vidéo sur Futura]

[nissart7831]

En complément de ce que t'a dit Ganash pour la résolution, regarde le fichier joint. Cela te montre ce que représentent les différents termes de ton équation.

L'approximation affine signifie que :
si une droite D est la tangente à une fonction f au point d'abscisse a, alors une valeur approchée de f en un point d'abscisse x qui est dans le voisinage de a est la valeur du point d'abscisse x appartenant à la tangente D. La fonction f est approximée par une fonction affine (droite : tangente) au voisinage d'un point (de tangence). L'erreur d'approximation est (x-a)E(x-a) (voir schéma).
tu vois bien que plus x s'approche de a et plus l'erreur d'approximation tend vers 0 (elle est nulle en a !).

Dans ton exercice on ne te demande pas d'expliciter la fonction E, mais de trouver une valeur approchée de , c'est-à-dire que tu n'as pas à exprimer E, mais seulement savoir qu'elle représente l'erreur de ton approximation.


EDIT : Ah zut! je n'arrive pas à joindre le fichier contenant le schema. Mes explications ne servent plus à grand chose, désolé.

[invitebb9bd43a]

Merci beaucoup a vous deux !
Même sans le fichier joint j'ai compris
Je pense avoir très bien compris !
Encore merci