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Entier petit coup de pouce



  1. #1
    Claudinne

    Entier petit coup de pouce

    Bonsoir à tous..
    J'ai un petit exercice qui me pose probleme je n'arrive pas à commencer:

    je dois trouver tous les x entier naturel (sauf 0) tel que 1+x+x²+x^3+x^4 soit le carré d'un entier....

    Le probleme c'est que tout d'abort je ne vois pas par où commencer et je voulais trouver des petites valeurs de x qui verifiée cette equation pour voir un peu leur caractéristique et j'en ai pas trouvé..
    Merci d'avance pour votre petit coup de ppouce

    -----


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  3. #2
    invité576543
    Invité

    Re : Entier petit coup de pouce

    Citation Envoyé par Claudinne
    Bonsoir à tous..
    J'ai un petit exercice qui me pose probleme je n'arrive pas à commencer:

    je dois trouver tous les x entier naturel (sauf 0) tel que 1+x+x²+x^3+x^4 soit le carré d'un entier....

    Le probleme c'est que tout d'abort je ne vois pas par où commencer et je voulais trouver des petites valeurs de x qui verifiée cette equation pour voir un peu leur caractéristique et j'en ai pas trouvé..
    Merci d'avance pour votre petit coup de ppouce
    Bonsoir,

    Sinon, il y a une formule simple peut-être utilisable: le polynome est égal à (x5-1)/(x-1); ensuite l'équation x5-1 = n2(x-1) peut s'étudier modulo 5...

    Je ne sais pas si ça va au bout, c'est juste une proposition de piste, peut-être vaine...

    Cordialement,

  4. #3
    Romain BERTOUY

    Re : Entier petit coup de pouce

    je pense que x=3 vérifie l'équation (on trouve P(3)=121 ce qui est 11²)
    Romain

  5. #4
    matthias

    Re : Entier petit coup de pouce

    Oui, 0 aussi est solution, mais on peut continuer longtemps comme ça. Ils faut toutes les trouver. Je pense comme mmy qu'il faut regarder du côté des congruences. On peut voir que y est nécessairement impair par exemple.

  6. #5
    invité576543
    Invité

    Re : Entier petit coup de pouce

    modulo 5 ça n'a en fait pas l'air de donner grand chose...

    C'est en général par trivial ce type de diophantiennes. Doit y avoir un truc particulier ici, mais je ne connais pas...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    matthias

    Re : Entier petit coup de pouce

    Citation Envoyé par mmy
    modulo 5 ça n'a en fait pas l'air de donner grand chose...
    Pourtant en utilisant x5 congru à x modulo 5 ça devrait se simplifier pas mal non ?

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  10. #7
    invité576543
    Invité

    Re : Entier petit coup de pouce

    Citation Envoyé par matthias
    Pourtant en utilisant x5 congru à x modulo 5 ça devrait se simplifier pas mal non ?
    Ca donne juste, sf erreur, y=0 mod 5 ou n=1 ou 4 mod 5...

    (n étant le carré)

  11. #8
    matthias

    Re : Entier petit coup de pouce

    Citation Envoyé par mmy
    Ca donne juste, sf erreur, y=0 mod 5 ou n=1 ou 4 mod 5...

    (n étant le carré)
    Tu veux dire x = 1 [5] ou n = 1 [5] ou n = 4 [5] non ?
    On peut aussi montrer n = 1 [2] et (n = 1 [3] ou n = 2 [3])

    Effectivement il y a peut-être plus direct, mais bon ...

  12. #9
    invité576543
    Invité

    Re : Entier petit coup de pouce

    Bonjour,

    La nuit portant conseil, le polynôme est factorisable en deux polynômes du second degré. Comme x5-1 a pour racines les cinq racines cinquièmes de l'unité, ces facteurs sont faciles à calculer. J'ai la flemme de le faire, c'est juste une piste. la factorisation devrait aider à résoudre le problème, je pense...

    Cordialement,

  13. #10
    Claudinne

    Re : Entier petit coup de pouce

    en fait on a pas encore revu les congruences, je cherchais plutot du côté de la factorisation...mais c'est pas facile...
    Merci

  14. #11
    invité576543
    Invité

    Re : Entier petit coup de pouce

    Citation Envoyé par Claudinne
    en fait on a pas encore revu les congruences, je cherchais plutot du côté de la factorisation...mais c'est pas facile...
    Merci
    Un peu d'aide alors?

    Les racines sont

    cos 2n pi/5 + i sin 2n pi/5

    avec n=1, 2, 3 et 4

    Cela vient de la formule générale donnant les racines de l'unité...

    Cordialement,

  15. #12
    matthias

    Re : Entier petit coup de pouce

    On peut aussi factoriser facilement ce genre de polynôme en divisant par x² et en utilisant .
    Mais je ne suis pas convaincu que la factorisation aide beaucoup.

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  17. #13
    Claudinne

    Re : Entier petit coup de pouce

    eh bien je n'arrive pas à quelque chose avec la factorisation...Pourtant je crois avoir tourné le polynome dans tous les sens...

  18. #14
    Romain BERTOUY

    Re : Entier petit coup de pouce

    Je fais un post pour remonter ce sujet car on l'a toujours pas résolu et si des gens veulent s'y mettre, ça pourrait être valable parce que c'est un vrai casse tête.

    La question initiale de claudinne est :

    "je dois trouver tous les x entier naturel (sauf 0) tel que 1+x+x²+x^3+x^4 soit le carré d'un entier...."

    x = 0 marche ainsi que x = 3, a priori ça ne sert pas à grand chose pour l'instant

    Pour info on a mi le polynôme (notons P) sous la forme :

    P(x) = (x^5-1)/(x-1), on cherche donc les x et y entiers tels que y² = P(x)

    mmy a également donné les 4 racines de de P (de la forme cos 2n pi/5 + i sin 2n pi/5, n€{1,...,4})

    bref je pense qu'on a tous essayé de factoriser ça dans tous les sens, personne n'est arrivé à quelquechose de bien concluant.

    voilà donc si quelqu'un avait trouvé ou voudrait se lancer dans une piste, pour ma part, je serais bien tenté de montrer qu'il n'y a pas d'autres x que 0 et 3 mais c'est chaud.
    Romain

  19. #15
    matthias

    Re : Entier petit coup de pouce

    Ce fil récent permet déjà de résoudre le cas où x est premier
    http://forums.futura-sciences.com/thread50180.html

  20. #16
    matthias

    Re : Entier petit coup de pouce

    Correction: ce fil donne une méthode pour trouver toutes les solutions
    Mais j'aimerais quand-même bien trouver autrement, cette méthode étant très belle mais pas très intuitive.

  21. #17
    matthias

    Re : Entier petit coup de pouce

    Citation Envoyé par Romain BERTOUY
    voilà donc si quelqu'un avait trouvé ou voudrait se lancer dans une piste, pour ma part, je serais bien tenté de montrer qu'il n'y a pas d'autres x que 0 et 3 mais c'est chaud.
    Vu que tu as rappelé l'énoncé, je viens de m'apercevoir que 0 n'est pas solution, puisqu'il est précisé "sauf 0".

  22. #18
    Penelope20k

    Re : Entier petit coup de pouce

    Puisque l'on cherche 1 + x + x² + x^3 + x^4 = a² avec a entier (eq 1)

    alors

    x . (1 + x + x² +x^3) = a²-1

    (eq2 ) 1 + x + x² +x ^3 = ( a² - 1 ) / x on pose u = (a²-1) / x

    x . ( 1 + x + x²) = u - 1

    (eq 3) 1 + x + x² = (u-1)/ x on pose v = (u-1) / x

    (eq 4) 1 + x = (v - 1 ) / x on pose w = (v-1 ) / x

    (eq 5 ) 1 = (w-1) / x



    On cherche x entier

    donc d'apres eq2 , si x entier ,u est entier donc u est multiple de x

    u = n.x = a²-1

    de meme

    v est multiple de x v= m.x

    w muiltiple e x w = p.x

    or d'apres eq5

    1 = (w -1 )/ x => w = x + 1 or px = w donc px = x+1 => x(p-1)= 1

    x = 1 / (p-1) or x entier donc p = 2 unique solution

    w = 2x
    -----------
    eq4 dit que
    1 + x = w = (v-1 ) / x


    sniff je viens de verifier c est faux ..;



    1 + x = 2x => x = 1

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  24. #19
    matthias

    Re : Entier petit coup de pouce

    Citation Envoyé par Penelope20k
    donc d'apres eq2 , si x entier ,u est entier donc u est multiple de x
    C'est ici que c'est faux. Il n'y a aucune raison pour avoir u multiple de x.
    D'ailleurs pour (x=3, a=11) qui est une (la) solution, tu as u = 40 non divisible par 3.

  25. #20
    jean3244

    Re : Entier petit coup de pouce

    Bonjour
    Une idéé qui n'est pas la mienne est d'encadrer
    1 + x+x^2+x^3 +x^4 entre deux carrés
    (x^2 +x:2)^2 et (x^2 + x:2 +1) ^2

    si x est pair , on a affaire à deux entiers consecutifs donc pas possible d'en intercaler un

    si x est impair x = 2p +1
    alors 4p^2 + 5p +1 +1:2 < 1 + x+x^2+x^3 +x^4 < 4p^2+5p + 2 +1:2

    donc1 + x+x^2+x^3 +x^4 =4p^2 +5p +2
    = x^2 +x:2+1:2

    en faisant (x^2 +x:2+1:2)^2= 1 + x+x^2+x^3 +x^4

    on arrive à x^2 -2x -3 = 0

    et voila le x=3.......

  26. #21
    matthias

    Re : Entier petit coup de pouce

    Oui c'est la solution donnée dans le lien du message #15

  27. #22
    GuYem

    Re : Entier petit coup de pouce

    Cette solution parait élégante et ne pas trop tomber du ciel.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  28. #23
    jean3244

    Re : Entier petit coup de pouce

    Ah! désolé n'avais pas lu cela dans le lien......
    Elle n'est pas si contre-intuitive que cela
    x^4 +x^3 comme début d'un carré c'est forcémebt (x^2 +x:2)^2
    et
    oui finalement je ne l'aurais jamais trouvé , mais elle est quand même jolie

  29. #24
    matthias

    Re : Entier petit coup de pouce

    Non je suis d'accord elle n'est pas si contre-intuitive que cela, mais je constate quand-même que tous ceux qui ont essayé ici étaient partis sur une autre piste
    Et je pense qu'on fera difficilement plus simple.

    Mais j'aimerais quand-même trouver une autre solution.
    Avec les congruences je n'ai pas été plus loin que :
    Si 1 + x + x2 + x3 + x4 = n² alors tous les diviseurs premiers de n sont congrus à 1 modulo 5.
    Dernière modification par matthias ; 14/11/2005 à 16h13.

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  31. #25
    jean3244

    Re : Entier petit coup de pouce

    Mathias dit
    Si 1 + x + x2 + x3 + x4 = n² alors tous les diviseurs premiers de n sont congrus à 1 modulo 5.
    peux tu expliquer?

  32. #26
    matthias

    Re : Entier petit coup de pouce

    Je donne les grandes lignes parce que j'ai un peu la flemme
    on a x5 - 1 = (x-1)n² donc si p premier divise n alors p divise x5 - 1, d'où x5 = 1 [p].
    L'ordre de x dans (Z/pZ)* divise 5 donc c'est 1 ou 5
    On peut montrer que p nécessairement différent de 2, 3 et 5, donc p > 5
    si x = 1 [p] alors 1 + x + x2 + x3 + x4 = 5 [p]
    Or n² = 0 [p] puisque p divise n
    Comme p > 5 ce n'est pas possible

    On a alors x d'ordre 5 dans (Z/pZ)* donc 5 divise p - 1, d'où p = 1 [5]

  33. #27
    jean3244

    Re : Entier petit coup de pouce

    merci pour ta réponse ,je croyais que c'était evident. :
    En tout cas ce ne l'etait pas pour moi : il va falloir que je révise..........

  34. #28
    azt

    Re : Entier petit coup de pouce

    Bonsoir,

    Pour résoudre le problème, je suis parti pour factoriser 1+x+x^2+x^3+x^4.
    Or c'est impossible dans IR, vous le savez bien.
    Cependant, je me suis rappellé que 1+x+x^2+x^3 est factorisable.
    1+x+x^2+x^3 = (x+1)(x^2+1)

    J'ai donc essayé de faire apparaitre cette factorisation :

    1+x+x^2+x^3+x^4 = n^2 (1)
    <=>
    x+x^2+x^3+x^4 = n^2 - 1
    <=>
    x (1+x+x^2+x^3)=n^2 - 1
    <=>
    x ( x + 1 ) ( x^2 + 1 ) = n^2 -1
    <=>
    x ( x + 1 ) ( x^2 + 1 ) = (n -1)(n+1)

    Pour résoudre le problème, il ne reste plus qu'à identifier les différents facteurs, et 3 cas se posent :

    Soit :
    1)
    x(x+1) = x^2 +x = n+1
    x^2 +1 = n-1
    Qui donne en faisant la différence :
    x-1 = 2
    D`ou
    x=3

    2)
    x(x^2+1)=x^3+x=n+1
    x+1=n-1
    Qui donne en faisant la différence :
    x^3-1 = 2
    C'est à dire
    x^3 = 3 , impossible dans IN.

    3)
    (x+1)(x^2+1)=x^3+x^2+x+1=n+1
    x=n-1
    Qui donne en faisant la différence :
    x^3+x^2+1=2
    <=>
    x^3+x^2=1
    Qui n'a pas de solution dans IN.

    En conclusion,
    la seule solution au problème est x=3.

    Est-ce joli ?
    Est-ce que cela a l'air de tomber du ciel ?
    Des remarques sur mon raisonnement peut-être.

    @+AZT
    Nous sommes toujours de la taille de l'univers que nous découvrons. [Frédérick Tristan]

  35. #29
    matthias

    Re : Entier petit coup de pouce

    première remarque sans beaucoup d'importance:
    1 + x + x2 + x3 + x4 se factorise dans IR en 2 polynômes du second degré, mais effectivement il ne se factorise pas en 4 polynômes du premier degré si c'est ce que tu voulais dire.

    deuxième remarque: comment justifies tu que tu aies le droit d'identifier les termes comme tu le fais ?

  36. #30
    azt

    Re : Entier petit coup de pouce

    Citation Envoyé par matthias
    première remarque sans beaucoup d'importance:
    1 + x + x2 + x3 + x4 se factorise dans IR en 2 polynômes du second degré, mais effectivement il ne se factorise pas en 4 polynômes du premier degré si c'est ce que tu voulais dire.
    Non, désolé, l'expression ne se factorise pas en deux polynomes du second degré dans IR.

    Citation Envoyé par matthias
    deuxième remarque: comment justifies tu que tu aies le droit d'identifier les termes comme tu le fais ?
    La décomposition d'un nombre en facteurs premiers se fait de manière unique.
    Pour un nombre donné, connaissant deux écritures de ses facteurs premiers, on peut donc identifier ces facteurs les uns avec les autres.

    Deux termes étant choisis,
    x(x+1)
    x^2 +1
    On peut identifier le plus grand des deux à n+1 et n-1.
    (On utilise des polynomes sur des entiers, déterminer le plus grand est donc facile)
    x(x+1) =n+1
    x^2 +1 =n-1
    Nous sommes toujours de la taille de l'univers que nous découvrons. [Frédérick Tristan]

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