Tout polynôme dans R se factorise en polynômes de degrés au plus égal à 2:Envoyé par azt
Non, désolé, l'expression ne se factorise pas en deux polynomes du second degré dans IR.
si je ne me suis pas trompé.
Mais ça ne nous intéresse pas ici, vu que l'on veur travailler sur des entiers.
Mais qui te dit que ces facteurs sont premiers ?
D'ailleurs dans la solution, x = 3, n = 11, le seul facteur premier est x, tous les autres sont composés.
ok, tout a fait d'accord.
En fait j'ai eu de la chance, car la réponse est unique et simple.
Nous sommes toujours de la taille de l'univers que nous découvrons. [Frédérick Tristan]
Je pense quand-même qu'on peut se servir de cette forme factorisée, je suis même un peu vert de ne pas y avoir pensé
on peut déjà voir que x et (x+1) sont premiers entre eux et que x et (x²+1) sont premiers entre eux, il doit y avoir quelque chose à en tirer.
x et (x+1) premiers entre eux, ce n'est pas trop rareJe pense quand-même qu'on peut se servir de cette forme factorisée, je suis même un peu vert de ne pas y avoir pensé
on peut déjà voir que x et (x+1) sont premiers entre eux et que x et (x²+1) sont premiers entre eux, il doit y avoir quelque chose à en tirer.
et x et x²+1 non plus : x²+1 - x(x) = 1
Lol, oui je sais bien, faut bien commencer quelque part.x et (x+1) premiers entre eux, ce n'est pas trop rare
et x et x²+1 non plus : x²+1 - x(x) = 1
Je peux t'en donner d'autres des comme ça si tu aimes :
n impair donc (n-1)/2 et (n+1)/2 entiers et premiers entre eux
J'arrête là ?
Et si on continue,Lol, oui je sais bien, faut bien commencer quelque part.
Je peux t'en donner d'autres des comme ça si tu aimes :
n impair donc (n-1)/2 et (n+1)/2 entiers et premiers entre eux
J'arrête là ?
x+1 et x²+1 étant de la même parité, alors ils sont pairs.
Ainsi x est impair car premier avec les deux précedents
Nous sommes toujours de la taille de l'univers que nous découvrons. [Frédérick Tristan]
OK, ma remarque était déplacée, j'ai sauté une partie des postes...
La mise en rapport terme à terme marche bien si n-1 et n+1 sont premiers entre eux, mais c'est très restrictif, non?
d'où n impairEt si on continue,
x+1 et x²+1 étant de la même parité, alors ils sont pairs.
Ainsi x est impair car premier avec les deux précedents
on en est alors à
x ((x+1)/2)((x²+1)/2) = ((n-1)/2)((n+1)/2)
Et là effectivement on a de chaque côté des produits de termes premiers entre eux!!
joli, très joli!
EDIT : Euh non... Tout faux... n pair...
Dernière modification par invité576543 ; 14/11/2005 à 21h53.
Ah, voila (enfin je pense)
On a 1+x+x^2+x^3+x^4 qui est forcément impair.
Or 1+x+x^2+x^3+x^4 = n²
Donc n est impair.
Ainsi n-1 et n+1 pairs
x+1 et x²+1 de même parité donc pairs.
D'où x impair (comme quoi on disait pas des bêtises)
ce qui donne :
x ((x+1) /2) ((x²+1) /2) = ((n-1)/2) ((n+1)/2)
Et là ca marche !
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J'ai un peu du mal avec ça.
Je passe à côté de quelque chose d'évident ?
On a x premier avec x+1
Puis x premier avec x²+1
Donc si x est pair, x+1 est impair
de même, x²+1 est impair.
Et inversement,
Donc x+1 et x²+1 sont de même parité
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effectivement y'a pb!
Mais ça ne fait que deux cas à étudier
soit x/4(x+1)(x²+1), soit x((x+1)/2)((x²+1)/2)
Ca devrait conclure...
Oui, ou les trois termes sont impairs... J'ai zapé çà
EDIT : ne pas tenir compte de ce message ci
Nous sommes toujours de la taille de l'univers que nous découvrons. [Frédérick Tristan]
Oui ils sont de même parité, il n'y a pas de doute, mais pourquoi pairs ?
Oui enfin pas tout de suite, ce n'est pas parce qu'ils sont premiers entre eux (et encore on ne sait rien pour (x+1) et (x²+1)) qu'on peut identifier les termes. Il va falloir faire de la divisibilité plutôt.
(3x5)x(7x2) = (7x5)x(3x2)
dur d'identifier terme à terme.
On a
x²+1 = (x+1)(x-1)+2
Si on est dans le cas x/4(x+1)(x²+1)
Les deux termes (x+1) et (x²+1) sont premiers entre eux.
Si on se trouve dans l'autre cas x((x+1)/2)((x²+1)/2)
on a (x²+1)/2 = (x+1)/2*(x-1)+1
Les deux termes (x+1)/2 et (x²+1)/2 sont premiers entre eux.
Nous sommes toujours de la taille de l'univers que nous découvrons. [Frédérick Tristan]
Bonsoir, je me suis bien cassée la t^te et les dents sur cette exercice...
Finalement voici la solution du prof'
n²=1+x²+x^3+x^4=(x²+x/2)²+1+x+3/4x²=(x²+x/2+1)²-5/4x²
On a donc
(x²+x/2)²< n²< (x²+x/2+1)² <=> x²+x/2<n<x²+x/2+1
d'pù x est impair!!! car si x était pair x² +x/2 et x²+x/2+1 seraient deux entiers consécutifs ce qui est bsurbe puisque que n est entier...
Il existe donc p entier naturel tel que x=2p+1
d'où 4p²+5p+3/2<n< 4p²+5p+5/2
ce qui implique que n=4p²+5p+2 (l'unique entier ds cette intervalle)
d'où n²= 16p^4 +40p^3+41p²+20p+4
et la il déduit que p=1 et x=3.....
Mouais j'ai l'impression que c'est tombé du cile....p=1???
Voila ..merci de s'être creusé la tete avec moi...
désolé je n'est pas pu aller sur le net cette semaine et j'ai posté rapidement la réponse hier mais n'avais pas vu que le sujet sur le forum avait pris trois pages..donc vous aviez la réponse...encore désolé et merci
En fait, sur la fin, on cherchait une méthode un peu plus intuitive pour trouver la solution.
Mais c'est loin d'être évident.
