petit problème avec les notations de landau

[theguitarist]

Bonjour à tous !

Voilà on avait abordé le sujets des notations de landau déjà en sup dans le cadre des développements limités et je pensais avoir compris mais là plus ça va et plus je me sens un peu largué avec ces notations, j'ai regardé pas mal de cours sur internet mais bon.. on ne peut pa dire que ça m'ait pas vraiment aidé.

Est ce que quelqu'un pourrait, ne serait ce que globalement, m'expliquer à quoi elles servent?

En fait je pense que j'ai du mal à me représenter le concept de voisinage et de "négligeabilité" et comment on les utilise, du moins correctement.

D'ailleurs j'avais aussi une ou deux questions :
- Déjà, pourquoi si f=o(g) en un certain point, alors f=O(g) en ce point (oui la question peut paraître un peu débile, mais vaut mieux la poser maintenant qu'après les concours).
- pourquoi dans un DL (prenons par exemple l'exponentielle en 0) on peut écrire 1+x+x²+o(x^3)=1+x+O(x²) ?
- Enfin d'un point de vue pratique, comment peut on savoir si telle ou telle fonction est un o ou un O d'une autre ? Parce que là je vois, on fait les calculs d'intégrale sur un intervalle et autant dire que les notations de Landau servent pas mal dans les théorèmes de comparaison...

je prends un exemple du cours que je n'ai pas compris :

soit f(t)=-ln(t)/(1-t²), continue sur ]0,1[ on veut étudier Int(de 0 à 1) de f(t)dt

Ici, le prof remarque que f(t) est équivalent en 0 à -ln(t), j'imagine que c'est simplement parce que 1/(1-t²) équivaut à 1..
et -ln(t)=o(1/racine(t) alors là c'est la cata ^^ il sort ça d'où ? Enfin évidement il ne l'a pas inventé, mais je veux dire, par quelle méthode a-t-il pu trouver cette relation ?

Même problème en 1 : f(t) est équivalent en 1 à 1/(1+t) est ce que c'est parce qu'il a fait un DL en 0 de ln(1-t)?

Enfin voilà il y a pas mal de questions..
Merci d'avance pour vos réponses, je vais aller en cours mais je vous répondrai sans faute ce soir!

Bonne journée!
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[invite3ce72bf9]

Bonjour,

je répond juste au début de ton message. Peut-être que ça te débloquera pour la suite.
quand on dit qu'au point a, f(x) = o(g(x)), cela signifie que le rapport f(x)/g(x) tend vers 0 quand x tend vers a
quand on dit qu'au point a, f(x) = O(g(x)), cela signifie que le rapport f(x)/g(x) tend vers une constante c quand x tend vers a

Donc f(x) = o(g(x)) implique f(x) = O(g(x)).

Attention, l'égalité est une "fausse" égalité. Si tu as f(x)+o(h(x)) = g(x) + o(h(x))n tu n'as pas le droit d'en déduire que f(x)=g(x)...

Cordialement,

MisterDa

ps : Landau mérite bien une majuscule !

[invite57a1e779]

quand on dit qu'au point a, f(x) = O(g(x)), cela signifie que le rapport f(x)/g(x) tend vers une constante c quand x tend vers a

Non ! f(x) = O(g(x)) signifie que le rapport f(x)/g(x) est borné au voisinage de a.

[theguitarist]

bonjour
Tout d'abord merci pour ta réponse, beaucoup de choses me semblent plus claires !

J'en déduis que sur un voisinage de a, il faut que g ne s'annule pas?

j'ai refait l'exemple du cours, du coup là je pense avoir compris ! Du coup pour l'équivalent le quotient f/g en a doit tendre vers 1, ce qui explique que f-g doit être un o(g), c'est cela ?

encore merci !

theguitarist

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3ce72bf9]

Effectivement, merci God's Breath d'avoir rectifié le tir aussi rapidement.
Je vais aller m'enterrer.
Cordialement,
MisterDa

[invite3ce72bf9]

Nos messages se sont croisés. L'équivalence est définie de la manière suivante quand f(x) - g(x) = o(g(x)) en a on dit que f est équivalente à g en a et on le note f~g en a.

Par exemple tu dis f(t)=-ln(t)/(1-t²) est équivalent en 0 à -ln(t) = g(t),
f(t) - g(t) = -ln(t)/(1-t²)+ln(t) = -tlnt/(1-t) = h(t)
et h(t)/g(t)=0 quand t->0.
MisterDa