Tangente x

[invite4e552635]

Comment prouver que :

tan(x) > x d'une part,

puis par la suite, comment prouver que:

tan(x) < 2x



Merci d'avance.
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[invited5b2473a]

Je suppose que c'est pour x>0. le moins prise de tête est la bête étude de fonction x->tan(x)-x et x->2x-tan(x)

[invitebb921944]

Je pense que tu auras du mal à démontrer une inégalité fausse.
Ou peut-être que x ne peut pas prendre n'importe quelles valeurs ? Il serait sympa de le préciser

[invited5b2473a]

Pour la première inégalité, tu peux aussi utiliser la concavité de tan

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4e552635]

Je suis sincerement désolé, j'ai effectivement oublier de préciser ...

comment démontrer que tan(x) > x pour tout x de [0; pi/2[

et comment démontrer que tan(x) < 2x pour tt x de [0;pi/4]



Merci d'avance ...

[invited5b2473a]

Dans ce cas, tu utilises la convexité de tan sur ces deux intervalles

[invite2f68e9c6]

Je suis sincerement désolé, j'ai effectivement oublier de préciser ...

comment démontrer que tan(x) > x pour tout x de [0; pi/2[

et comment démontrer que tan(x) < 2x pour tt x de [0;pi/4]



Merci d'avance ...

voyons voyons ... une petite étude de fonction devrait suffire.
tu poses h(x)=tan(x)-x . Le but est donc de montrer que h est négative sur l'intervalle considéré.

(dérive 2 fois si nécessaire)

[invited5b2473a]

Désolé Ravioli, la convexité de tan est une méthode beaucoup plus jolie
et agréable et est donc préférable à la tienne

[invite4e552635]

Heu, soit, mais comment s'éxprime cette convexité de tan ?

[invite2f68e9c6]

Ah oui plus rapide dis tu ? l'indien ? N'oublies pas que tu dois dériver 2 fois pour montrer la convexité. Alors ?

[invited5b2473a]

Une fonction telle que sa dérivée seconde est positive, est convexe. Géométriquement, cela signifie que la courbe est en-dessous de ses cordes (segment qui joint deux points de la courbe) et au-dessus de ses tangentes.
exemple: f: x-> sin x sur [0; ] est C² et f''(x)=-sin(x) 0. Donc sin est concave et sa courbe en-dessous de ses tangentes. Donc, par exemple, sin(x) <= x pour

[invite2f68e9c6]

c'est bien ce que je disais l'indien , tu dois dériver 2 fois.... Alors ?

[invited5b2473a]

Franchement, dériver deux fois tangente, tu parles d'une difficulté! Surtout que le signe de la dérivée seconde est vraiment facile à obtenir

[invitedea4e200]

voyons voyons ... une petite étude de fonction devrait suffire.
tu poses h(x)=tan(x)-x . Le but est donc de montrer que h est négative sur l'intervalle considéré.

(dérive 2 fois si nécessaire)

si tan(x) est censé être superieur ou égal à x ( sur [0;pi/2[ ), h(x) ne devrait il pas être positif ?? expliquez moi

[invitedea4e200]

et d'ailleurs ( excusez moi de navoir pas mis cela en un seul message ) si on veut juste démontrer que h(x) est positif sur [0;pi/2[, ne suffirait il pas de dériver une seule fois?

[invite52c52005]

Bonjour,

tout à fait pour tes 2 post ToufXL(eo).

Pour montrer la 1 ère inégalité (qui n'est pas stricte d'ailleurs mais large sur l'intervalle proposé), on peut montrer que h(x) est positive.
Pour cela, le sens de variation de h (donnée par le signe de h') et la valeur de h(0) suffit pour conclure sur l'intervalle voulu.

Quant à la 2ème inégalité (large aussi sur l'intervalle considéré), on peut conclure de manière analogue.