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Tangente x



  1. #1
    MagAxX

    Wink Tangente x


    ------

    Comment prouver que :

    tan(x) > x d'une part,

    puis par la suite, comment prouver que:

    tan(x) < 2x



    Merci d'avance.

    -----
    Science sans conscience, n'est que ruine de l'âme. (Rabelais)

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  3. #2
    indian58

    Re : Tangente x

    Je suppose que c'est pour x>0. le moins prise de tête est la bête étude de fonction x->tan(x)-x et x->2x-tan(x)

  4. #3
    invite43219988

    Re : Tangente x

    Je pense que tu auras du mal à démontrer une inégalité fausse.
    Ou peut-être que x ne peut pas prendre n'importe quelles valeurs ? Il serait sympa de le préciser

  5. #4
    indian58

    Re : Tangente x

    Pour la première inégalité, tu peux aussi utiliser la concavité de tan

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    MagAxX

    Re : Tangente x

    Je suis sincerement désolé, j'ai effectivement oublier de préciser ...

    comment démontrer que tan(x) > x pour tout x de [0; pi/2[

    et comment démontrer que tan(x) < 2x pour tt x de [0;pi/4]



    Merci d'avance ...
    Science sans conscience, n'est que ruine de l'âme. (Rabelais)

  8. #6
    indian58

    Re : Tangente x

    Dans ce cas, tu utilises la convexité de tan sur ces deux intervalles

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  10. #7
    Ravioli

    Re : Tangente x

    Citation Envoyé par MagAxX
    Je suis sincerement désolé, j'ai effectivement oublier de préciser ...

    comment démontrer que tan(x) > x pour tout x de [0; pi/2[

    et comment démontrer que tan(x) < 2x pour tt x de [0;pi/4]



    Merci d'avance ...
    voyons voyons ... une petite étude de fonction devrait suffire.
    tu poses h(x)=tan(x)-x . Le but est donc de montrer que h est négative sur l'intervalle considéré.

    (dérive 2 fois si nécessaire)

  11. #8
    indian58

    Re : Tangente x

    Désolé Ravioli, la convexité de tan est une méthode beaucoup plus jolie
    et agréable et est donc préférable à la tienne

  12. #9
    MagAxX

    Re : Tangente x

    Heu, soit, mais comment s'éxprime cette convexité de tan ?
    Science sans conscience, n'est que ruine de l'âme. (Rabelais)

  13. #10
    Ravioli

    Re : Tangente x

    Ah oui plus rapide dis tu ? l'indien ? N'oublies pas que tu dois dériver 2 fois pour montrer la convexité. Alors ?

  14. #11
    indian58

    Re : Tangente x

    Une fonction telle que sa dérivée seconde est positive, est convexe. Géométriquement, cela signifie que la courbe est en-dessous de ses cordes (segment qui joint deux points de la courbe) et au-dessus de ses tangentes.
    exemple: f: x-> sin x sur [0; ] est C2 et f''(x)=-sin(x) 0. Donc sin est concave et sa courbe en-dessous de ses tangentes. Donc, par exemple, sin(x) <= x pour

  15. #12
    Ravioli

    Re : Tangente x

    c'est bien ce que je disais l'indien , tu dois dériver 2 fois.... Alors ?

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  17. #13
    indian58

    Re : Tangente x

    Franchement, dériver deux fois tangente, tu parles d'une difficulté! Surtout que le signe de la dérivée seconde est vraiment facile à obtenir

  18. #14
    ToufXL(éo)

    Re : Tangente x

    Citation Envoyé par Ravioli
    voyons voyons ... une petite étude de fonction devrait suffire.
    tu poses h(x)=tan(x)-x . Le but est donc de montrer que h est négative sur l'intervalle considéré.

    (dérive 2 fois si nécessaire)
    si tan(x) est censé être superieur ou égal à x ( sur [0;pi/2[ ), h(x) ne devrait il pas être positif ?? expliquez moi

  19. #15
    ToufXL(éo)

    Re : Tangente x

    et d'ailleurs ( excusez moi de navoir pas mis cela en un seul message ) si on veut juste démontrer que h(x) est positif sur [0;pi/2[, ne suffirait il pas de dériver une seule fois?

  20. #16
    nissart7831

    Re : Tangente x

    Bonjour,

    tout à fait pour tes 2 post ToufXL(eo).

    Pour montrer la 1 ère inégalité (qui n'est pas stricte d'ailleurs mais large sur l'intervalle proposé), on peut montrer que h(x) est positive.
    Pour cela, le sens de variation de h (donnée par le signe de h') et la valeur de h(0) suffit pour conclure sur l'intervalle voulu.

    Quant à la 2ème inégalité (large aussi sur l'intervalle considéré), on peut conclure de manière analogue.

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