matrice diagonalisable ou trigonalisable

[invite9f31e17a]

Bonjour,

soit une matrice A,
une fois qu'on a déterminé son polynôme caractéristique P et ses valeurs propres.
Comment sait on si A est diagonalisable ou trigonalisable?

- faut-il passer par le calcul de dim Ker (A-lambda I) avec lambda:valeur propre
puis comparer l'ordre de multiplicité de la valeur propre et dim Ker?

Donc si multiplicité de la valeur propre= dim Ker => A est diagonalisable?
Et si multiplicité de la valeur propre est différent de la dim de Ker alors A est trigonalisable?

Exemple: Soit une matrice A
1 1
-1 3
P(lambda)= (lambda-2)²
donc 2 est une valeur propre d'ordre de multiplicité 2.
et on a dim (Ker-2I)= 1
comme la dimension de Ker=1 est différent de l'ordre 2 de la valeur propre alors on en déduit que A est trigonalisable?

Exemple 2:
On a une matrice A et P=(-1-lambda) (7-lambda)
l'exo dit "lambda=-1 ou lambda=-7 valeurs propres d'ordre 1 donc A est diagonalisable dans M2(R)"
Pourquoi ici on pouvait directement dire que A était diagonalisable, sans passer déterminer la dim de Ker?

Merci beaucoup!
-----

[invite371ae0af]

pour l'exemple 2:
si les valeurs propres sont simples, la matrice est diagonalisable

pour l'exemple 1:
tu regardes le rang de A-2I
rg(A-2I)=1 donc par le théorème du rang dimKer(A-2I)=1 qui est différent de la multiplicité de la valeur propre. Donc A n'est pas diagonalisable
cependant comme les racines du polynôme caractéristique de A sont toutes réelles, A est trigonalisable dans R