Salut,
J'ai un exo à faire et je bloque sur une question, est ce que qqun pourrait me donner des pistes svp ?
Voici l'énoncé :
Soit M appartenant à Mn(IC) une matrice diagonalisable.
Existe-t-il une matrice A appartenant à Mn(IC) tq A²=M ?
Merci pour vos réponses, Pisces
M étant diagonalisable, il existe une matrice P inversible telle que :
où D est une matrice diagonale.
Il est alors facile de trouver U tel que
Ta matrice est diagonalisable, dans C tout nombre admet au moins un racine carrée donc toutes tes valeurs propres admettent une racine carrée donc ....
Pour détailler les réponses précédentes :
Notons A la matrice tel que A² = M
M est diagonalisable, sa matrice diagonale est D
alors en prenant U la matrice diagonale dont les coefficients sont les racines carrés de ceux de D tu as U² = D, mais nous on cherche une matrice dont le carré vaut M et non D.
Il suffit de poser A=PUP^(-1)
En effet A² = PUP^(-1)PUP^(-1)
= PU²P^(-1)
= PDP^(-1)
=M
Merci pour toute vos réponses, c'est gentil et je pense pouvoir me débrouiller seul maintenant
Pisces
