[Etudes Supérieures] Dérivées successives

[invitef0d7822d]

Bonsoir.

Je bloque sur un exercice en mathématiques et j'aurais besoin d'aide...

Soit g(x) = (1)/(x²-1). Calculer g^(n) pour tout n E N
On montrera qu'il existe des réels a et b tels que pour tout x E R tel que { -1, 1 }, g(x) = a/(x-1) + b/(x+1).

Je ne vois pas du tout quoi faire...

Merci de votre aide.
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[invite04ab2116]

Bonsoir. Pour la première question il faut tout d'abord calculer la dérivée première puis seconde (si nécessaire la troisième ) ce qui permet de conjecturer un résultat que l'on démontre par récurrence

[invite04ab2116]

Pour la deuxième il suffit de remarquer que x²-1 c'est (x-1)(x+1)donc a/x-1 +b/x+1=1/x²-1et par suite a(x+1)+b(x-1)=1 donc (a+b)x+(a_b)=1donc a+b+0 et a-b=1 donc a=1/2 et b=-1/2