Dérivées successives et récurrence
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Dérivées successives et récurrence



  1. #1
    invite489d2c5c

    Dérivées successives et récurrence


    ------

    Bonjour,

    La fonction f est définie pour tout réel x non nul par f(x) = 1/x.

    1- En calculant les dérivées d'ordre n de la fonction f pour n=1,2,3 et 4, conjecturez l'expression de f^(n) (x) pour tout entier n supérieur ou égale à 1.

    2- Démontrez votre conjecture par récurrence.

    Besoin d'aide, qu'est-ce qu'une dérivée d'ordre n ?

    Merci

    -----

  2. #2
    Tryss

    Re : Dérivées successives et récurrence

    La dérivée d'ordre n, c'est quand tu dérives n fois ta fonction :
    f' => dérivée d'ordre 1
    f'' => dérivée d'ordre 2
    etc.

  3. #3
    Paminode

    Re : Dérivées successives et récurrence

    Citation Envoyé par zoultaka Voir le message
    Besoin d'aide, qu'est-ce qu'une dérivée d'ordre n ? Merci
    Bonjour Zoultaka,

    La dérivée première f' de la fonction f est la dérivée d'ordre 1.
    La dérivée deuxième f'' de la fonction f est la dérivée de f', et c'est la dérivée d'ordre 2.
    La dérivée troisième f(3) de f est la dérivée de f'', et c'est la dérivée d'ordre 3, etc.

    Edit : intercepté par Tryss

  4. #4
    invite489d2c5c

    Re : Dérivées successives et récurrence

    alors f'(x) = -1/x^2
    f''(x)= 2/ x^3
    f'''(x)= -6/x^4
    f''''(x) = 24/x^5

    Pour la conjecture je sais que pour passer de l'un a l'autre on multiplie par quelque chose sur x, mais je ne sais pas trop en haut

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    pallas

    Re : Dérivées successives et récurrence

    plusieurs indications Si f
    si nous désignons la derivée n'ieme par f^(n)(x)

    D'abord le signe
    pour n= 1 c'est moins ; pour n=2 c'est + , pour n=3 c'est moins donc c'est (-1)^n facile
    pour la valeur numérique au numéteur pour n=1 c'est 1; pour n=2 c'est 2x1 ; pour n=3 c'est 3x2x1; pour n=4 c'est 4x3x2x1
    saches que factorielle n noté n!= n(n-1)(n-2) x1 à toi de conclure
    pour l'exposant de x au dénominateur c'est evident !!
    a toi d'etablir la récurrence sur la formule que tu vois apparaitre ....

  7. #6
    invite489d2c5c

    Re : Dérivées successives et récurrence

    Je n'ai pas compris

  8. #7
    S321

    Re : Dérivées successives et récurrence

    Comment voulez vous être aidé si vous êtes aussi vague ? Qu'est-ce que vous n'avez pas compris ?
    Wir müssen wissen, wir werden wissen.

  9. #8
    invite489d2c5c

    Re : Dérivées successives et récurrence

    Comment conjecturer l'expression de f^(n)(x)

  10. #9
    invite489d2c5c

    Re : Dérivées successives et récurrence

    f^(n) (x)= -1^n n! / x^n+1 ?

    Pour la recurrence : initialisation : OK pour l'hérédité je bloque ..

  11. #10
    invitee27a8b07

    Re : Dérivées successives et récurrence

    Suppose que la propriété est vraie à un rang N : .

    Pour dériver une nouvelle fois, utilise ... , c'est ton f(x) ; vaut multiplié par une certaine constante ; et tu sais dériver un produit... Je pense que tu trouveras ainsi.

  12. #11
    invite489d2c5c

    Re : Dérivées successives et récurrence

    Je suis désolée, je n'ai toujours pas compris .. :/

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