Etude de fonction

[invite445e14e6]

Bonsoir tout le monde,
je suis actuellement en BTS Informatique et j'ai un DM à faire en option maths qui me pose 2 ou 3 soucis.
Voici le problème:
Soit f la fonction définie sur R par
f(x)=(x²+3x+1)exp(-x)

1) Etudier les limites de f en + infini et - infini
=> Là je bloque, on obtient une F.I. et je ne vois pas comment la lever =/

2) A l'aide d'une intégration par partie, déterminer une primitive de h sur R:
h(x)=(2x+3)exp(-x)
=> Ici pareil, je sais faire des intégrations par partie mais je ne vois pas comment la résoudre sans bornes ?!

3) f étant une solution de l'équation différentielle (E) (résolue dans la première partie de l'exercice), elle vérifie:
f'(x) + f(x) = (2x+3)exp(-x)
et en utilisant le résultat de la question précédente (2) , déterminer une primitive de f
=> Là même chose je ne vois pas comment faire (somme de deux intégrales?)

Enfin,
4) Pour tout nombre réel alpha>0 on pose
I(alpha) = intégrale de 0 à alpha de f(x)dx.
Calculer I(alpha)
=> Je pense qu'avec la réponse à la question 3) j'y arriverai
Déterminer la limite de I(alpha) lorsque tend vers + infini et donner une interprétation graphique de ces résultats
=> A l'aide!


En vous remerciant d'avance pour vos réponses,

A très vite,

L'Etudiiiante "Il n'y a pas de problèmes, il n'y a que des solutions"
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[inviteea028771]

Pour la question 1), ça se fait par croissance comparée.

Il faut savoir que l'exponentielle "l'emporte" sur les polynômes.

Pour la question 2), il faut utiliser la formule habituelle mais sans les bornes :



Pour la question 3), l'équation différentielle nous donne la relation suivante :

f(x) = h(x)-f'(x)

On a alors



Or on connait la valeur de ces deux morceaux

Pour la question 4), normalement tu obtiens une limite finie : l'aire sous la courbe entre 0 et l'infini est donc finie

[invite445e14e6]

Tout d'abord, merci d'avoir répondu

Désolé d'insister, mais je n'ai jamais résolu d'intégration par partie sans bornes pour trouver une primitives, pouvez-vous m'éclairer sur la méthode à appliquer?

[inviteea028771]

L'idée est la même que pour une intégration par partie classique :

f(x)g(x) est une primitive de "f'(x)g(x)+f(x)g'(x)"

Donc une primitive de f'(x)g(x) est "f(x)g(x) moins une primitive de f(x)g'(x)"

Sur un exemple (ça serra sans doute plus clair) : Une primitive de

On pose f'(x) = x et g(x) = ln(x)
On a alors f(x) = x²/2 et g'(x) = 1/x



Une primitive de est donc

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite445e14e6]

Ah d'accord, merci beaucoup pour ces infos. Je vais essayer de finir cela demain.
Si j'ai d'autres questions, je pourrais vous les poser demain?

[inviteea028771]

Oui, c'est ça

( en effet x²/(2x) = x/2, qui s'intègre facilement )

[invite445e14e6]

Bonjour,
Pour les questions 1),2) et 3) c'est bon tout est ok.

Pour la 4), Je trouve que la limite de I(alpha) quand alpha tend vers + infini est de 0.
Dans linterprétation graphique je peux donc dire que Cf admet une asymptote horizontale: l'axe des abscisses?

Merci d'avance!