Bonsoir,
Soit (e1,e2,e3...en) base quelconque d'un-ev de dimension n.
On l'orthogonalise par le procédé de Gram-Schmidt et on trouve (O1,O2,O3...On)
Je voudrais vous demander s'il y'a un resultat a propos des Oi: Avons nous une relation entre On,On+1,On+2?
Tu veux savoir comment se passe gram-schmidt c'est ça ?
selon moi, l'ordre des éléments de la base est arbitraire avant le début de l'orthogonalisation.
mais une fois cet ordre établit, selon tes notations :
le kème élément dépend donc des (k-1) projections précédentes. C'est normal, c'est lié à la triangularisation.
en 2 étapes donc. Voir un algorithme sur wikipedia : http://en.wikipedia.org/wiki/Gram%E2...chmidt_process
Non ce n'est pas ça. Je connais le procédé mais c’était une question ouverte, pour avoir quelques résultats supplémentaires.
J'en ai trouvé quelques uns sur les polynômes orthogonaux, mais je ne pense pas qu'il peut y'en avoir pour tout espace vectoriel.
Merci tout de même.
Dans le cas des polynômes orthogonaux, on commence par construire une base orthogonale B par la méthode de Gram-Schmidt à partir la base canonique.
On établit ensuite une relation de récurrence qui porte sur trois termes consécutifs: Pn, Pn+1, Pn+2.
Mais cette relation n'est pas linéaire, on l'obtient en exprimant XPn+1 dans la base B.
On utilise donc l'existence d'une multiplication dans l'espace des polynômes : la relation de récurrence est liée à la structure d'algèbre et pas à la seule structure d'espace vectoriel.
D'autre part, la méthode de Gram-Schmidt utilise à plein les propriétés du drapeau de sous-espaces vectoriels attachés à une base, drapeau que le procédé conserve dans la construction de la base orthogonale. Dans le cas des polynômes, le drapeau attaché à la base canonique est le drapeau de la graduation par degrés : il est compatible avec la structure d'algèbre et joue un rôle important pour l'établissement de la relation entre Pn, Pn+1, Pn+2.
C'est la structure d'algèbre graduée de l'espace des polynômes qui permet d'obtenir les propriétés fines des polynômes orthogonaux.
En effet,
On montre que: Pn(x)=(AnX+Bn)Pn-1(x)+Cn.Pn-2(x), ou les An,Bn et Cn sont des réels.
