Bonjour,
Voila j'ai un exercice sur lequel je bute:
"Soit E=Rn[X] et f:E->E telle que P->P(x+1)
1)Montrer que f appartient à L(E)
2)Déterminer le polynôme annulateur"
Pour la première question j'y suis arrivé facilement c'est pour la deuxième que je bloque quelqu'un aurait une piste ?
Merci
Salut,Envoyé par jules345
Bonjour,
Voila j'ai un exercice sur lequel je bute:
"Soit E=Rn[X] et f:E->E telle que P->P(x+1)
1)Montrer que f appartient à L(E)
2)Déterminer le polynôme annulateur"
Pour la première question j'y suis arrivé facilement c'est pour la deuxième que je bloque quelqu'un aurait une piste ?
Merci
j'y ai pas beaucoup réfléchi mais voici peut-être une idée:
On peut essayer d'écrire la matrice de f dans la base canonique de Rn[X] et calculer le polynôme caractéristique de f puis utiliser le théorème de Cayley-Hamilton. Ca donnera un polynôme annulateur. Certainement pas le seul...
Dernière modification par Weensie ; 30/01/2012 à 00h59.
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Bonjour,
On peut même ne calculer que partiellement cette matrice pour constater qu'elle est triangulaire supérieure et trouver ainsi le polynôme caractéristique.
Ensuite on peut démontrer avec un peu de calcul que le polynôme minimal est ici égal au polynôme caractéristique.
Il y a plus simple je pense.
On peut remarquer que D(P)=f(P)-P=P(x+1)-P(x) est l'opérateur appelé la "pseudo dérivation". On vérifie aisément que D(P) est de degré n-1 si P est de degré n.
Donc D^n(P)=0. Ce qui donne en remplaçant par f : (f-Id)^n = 0. Un polynôme annulateur de f est donc (X-1)^n
Bonjour!
Je ne comprends pas en quoi le degré (n-1) de D(P) entraîne D^n(P)=0 (à moins qu'il ne s'agisse de la dérivation, mais ça ne sert pas pour le polynôme annulateur).
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Comme tu diminues le degré de P de 1 à chaque fois, au bout de n fois tu as zéro, quel que soit le polynôme de départ. Donc D^n(P)=0 pour tout P de degré n
On cherche le polynôme annulateur de f, et on a a formule (f-Id)^n=0 ce qui donne bien le polynôme annulateur de f.
Edit: OK! oui, c'est effectivement assez simple.
Dernière modification par Weensie ; 31/01/2012 à 09h59.
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