Questions sur les applications de classe C1

[invitedb1946d2]

Bonsoir !

J'aurais besoin d'aide pour éclaircir le point suivant, qui est peut être évident mais ne figure pas dans mon cours : étant donné une application f d'un ouvert U de E, espace vectoriel normé de dimension finie dans Rⁿ, quel est le lien, s'il existe entre les notions de continuité de f et son caractère C1 ?

Merci beaucoup !
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, comme dans le cas lR dans lR le caractère C1 entraine la continuité.

[invitedb1946d2]

Bonsoir ! Merci pour la réponse rapide. Cependant, comme cela ne figure pas dans mon cours ( il est écrit au départ que la continuité des applications partielles n'entraîne pas la continuité de la fonction, et aprés tout le cours sur le calcul différentiel est fait sans revenir sur la notion de continuité) aurais-tu des éléments de preuves ? Je n'arrive pas trop à faire le pont entre les deux notions.

Merci beaucoup

[RoBeRTo-BeNDeR]

Je vais essayer de le montrer, on dit que est différentiable sur si: tel que , . J'ai mis car il faut que .

On dit que est si est continue.

Soit , est continue en si , ou alors

On suppose la différentiabilité en de alors est linéaire en dimension finie donc continue sur , donc en . On a donc que .

Donc ceci doit prouver que différentiabilité implique continuité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedb1946d2]

Ok, je viens de lire, c'est beaucoup plus clair, merci beaucoup de la réponse. En plus je n'avais pas capté que la classe C1 revenait à la continuité de l'application qui à x associe la différentielle en x, à chaque fois je montrais la continuité des dérivées partielles.

Merci beaucoup pour le temps et la réponse, rédigée en plus !!

Bonne soirée