calcul differentiel

[invite0e6b8fe1]

bonsoir à tous, voila j'ai un petit problème de compréhension sur un petit exo...
Soit f:U->F une appli définie sur un ouvert U d'un espace de banach E à valeurs dans un espace de Banach F. Soit aU et hE on pose lim(t->0) (f(a+th)-f(a))/t = _hf(a)
On dit que f est G-differentiable en aU si la limite de existe hE et si l'appli h-->hf(a) est linéaire continue , on note dGf(a) cette appli.
Montrer que si f est differentiable en aU, alors f est G-differentiable en a et dGf(a)=Df(a)!

Alors : u, t,tel que:
(a + t.u)U, f(a + t.u) = f(a) + df(a)(t.u) + o(t.u).
En prenant une norme sur E, on a: f(a + t.u) = f(a) + t.df(a)(u) + |t|*||u|| e(t.u)

(f(a+tu)-f(a))/t admet bien une limite quand t tend vers 0 qui est df(a)(u) donc df(a)(u)=dGf(a)

mais on peut dire que df(a)(u)=Df(a) ? et on a pas montré que l'appli est linaire continue non?
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[invite57a1e779]

Qui est df(a) ? Qui est Df ?

[invite0e6b8fe1]

df(a) est la differentielle de f en a. mais Df je sais pas