matrice diagonale

[invite371ae0af]

bonjour

j'aurai besoin d'aide sur cet exo:
soit A dans R^nxn inversible et symétrique. On suppose que A admet une unique décomposition LU (L matrice triangulaire inférieure à diagonale unité et U matrice triangulaire supérieure) de la forme A=LU

montrer qu'il existe D dans R^nxn diagonale tel que

voici ce que j'ai fais:
j'ai trouvé que L et U sont inversible
mais après je pars de pour trouver D?

merci de votre aide
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Puisque est inversible, on peut l'écrire sous la forme avec diagonale et triangulaire supérieure à diagonale unité.

Comme est symétrique, on en déduit que d'où une seconde décomposition LU de la matrice.

[invite371ae0af]

merci pour ton aide

mais pourquoi si U est inversible on a forcément U=DU'?

[invite57a1e779]

Parce que, la matrice étant triangulaire, son inversibilité se traduit par la non nullité des éléments diagonaux u_i,i. On peut donc mettre en facteur u_i,i dans la ligne i de U pour obtenir la décomposition DU'.

[A voir en vidéo sur Futura]