matrice diagonale

[invite371ae0af]

bonjour,
j'aurai besoin d'aide pour cet exo:
soit la matrice M=
2 -1 1
2 0 1
2 -1 2

on me demande de déterminer 2 matrices D et N telle que M=D+N DN=ND avec D une matrice diagonale et N une matrice nilpotente

j'ai chercher les valeurs propres de M et j'ai trouvé D=
1 0 0
0 1 0
0 0 2

puis pour N j'aurai dis:
1 -1 1
2 -1 1
2 -1 0

mais le problème c'est que ma matrice N n'est pas nilpotente
comment faire alors?

dans la deuxième question on me demande de calculer M^n mais je ne vois pas comment le faire à partir de M=D+N

merci de votre aide
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Ne serait-ce pas "D diagonalisable" en lieu et place de "D diagonale" ?

Pour la suite : Mⁿ=(D+N)ⁿ et on développe par la formule du binôme ; la plupart des puissances de N sont nulles.

[invite371ae0af]

oui c'est D diagonalisable

[invite57a1e779]

Commence par trigonaliser M sous la forme M=PTP^-1, puis tu décomposes T sous la forme T=T_d+T_n, et tu en déduis la décomposition M=PT_dP^-1+PT_nP^-1 avec une matrice diagonalisable et une matrice nilpotente si tu as décomposé T convenablement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

le problème c'est que je n'ai pas vu le procédé de trigonalisation

[invite57a1e779]

Ca complique tout de suite la résolution... et ça demande un peu plus de réflexion.