Bonjour,
j'étais en train d'essayer de prouver le résultat suivant:
Soittrois groupes tels que la suite
J'arrive à faire le cas A et B finiment engendrés, ainsi que le cas A et C finiment engendrés. Mais je bloque sur le cas B et C finiment engendrés. Quelqu'un aurait-il une idée? Merci d'avance.
On peut essayer de faire le ménage dans les hypothèses. On a toujours, par surjectivité que
B est de type fini => C est de type fini.
Quitte à identifier les groupes à leurs images, le problème est donc équivalent à montrer que :
Si H est un sous-groupe distingué de G qui est de type fini, alors H est de type fini.
Salut!
Pour le coup ca c'est faux (ce serait vrai si les groupes etaient abéliens cela dit), dans le cas general c'est faux.
Le contre exemple classique est le sous groupe dérivé du groupe libre a 2 generateurs.
Je n'avais pas fait attention, mais effectivement les groupes sont supposés abéliens. Quelle est la preuve dans le cas abélien?Envoyé par MissPacMan
(et sauf erreur, l'abélianité n'est requise que pour montrer B et C de type fini => A de type fini, ai-je tort?)
La preuve dans le cas abélien, vient du fait que Z est noethérien, donc tout module de type fini dessus est noethérien et donc tout sous module d'un tel truc est de type fini.
Et la commutativité sert uniquement effectivement a prouver B de tf => A de tf.
Une autre méthode est la suivante :
Comme ils sont abéliens, tu peux utiliser le théorème de structure des groupes abéliens de types finis. Ainsi tu te ramènera au cas où G=Zn. Après, c'est une récurrence sur n pour montrer que H est isomorphe à Zr avec r<n.
