Géodésique / Axiomes de Hilbert

[invite7849ae55]

Bonjour, j'ai cherché sur le forum, mais je n'ai pas trouvé de topic traitant ce sujet ; si, par mégarde, je suis passé à côté, je vous prie de me l'indiquer, et m'excuse d'avance pour le dérangement merci.

Voici ma question :
Comment formalise-t-on (sous forme de phrase logique) une géodésique ? Je supposes que c'est un ensemble de points par rapport à un espace donné, mais de là à le formaliser, j'ai du mal.

Sinon, j'ai une autre question plus générale : Je ne trouve que les axiomes de Hilbert en phrases du langage commun humain, mais je ne parviens pas à trouver les phrases logiques des axiomes de Hilbert, comme pour les axiomes de la théorie des ensembles par exemple : . Donc, où puis-je trouver cela, s'il vous plait ?

Voilà, merci à vous de me répondre et bonne journée.
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[Médiat]

Bonjour,

Regardez là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post2826074

[invite7849ae55]

Merci d'avoir répondu, mais je ne vois pas trop la formalisation logique.
Je vois des des phrases en français/anglais et des notations informelles.
En fait, ce que je cherche, c'est une définition vraiment formelle, logique.

Après, peut-être n'ais-je pas cherché au bon endroit dans le lien envoyé, si c'est le cas, j'en suis désolé.

[Médiat]

En fait les axiomes sont très faciles à écrire sous forme de formules formelles, il vous faut définir les relations dont vous aurez besoin, comme, par exemple, Point, Droite et Plan qui sont des prédicats identifiant ces trois types d'objets, un symbole pour dire qu'un point appartient à une droite ou à un plan etc ...

J'ai regardé et tous les axiomes s'expriment facilement avec des formules du premier ordre, sauf l'axiome d'archimède qui est un peu plus compliqué.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7849ae55]

Oui, mais alors comment on formalise une droite ? Ou plus généralement, une géodésique, si c'est facile, je n'y arrive quand même pas, j'en suis désolé.
Et un point ou un plan ?

[Médiat]

Bonjour,

Je vous ai répondu dans le post précédent, mais ce n'était peut-être pas clair :

Soit L le langage égalitaire constitué de Pt, Dr et Pl des prédicats unaire et un prédicat binaire.

Alors le premier axiome I1 peut s'écrire :



Ensuite on peut créer des nouveaux symboles définissables pour simplifier l'écriture des axiomes suivants.