Topologie d'ensembles

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, je vous explique mon problème,

je me place dans un -espace vectoriel. J'y prend une partie convexe. Quelle topologie puis-je avoir sur ?

Je cherche à avoir une topologie pour montrer un résultat de limite d'une suite d'ensemble qui convergerait vers une certaine partie de , mais je sèche un peu, car n'importe qu'elle topologie ne serait pas la bien venue...

Si il faut plus d'informations pour pouvoir me donner une topologie plus satisfaisante je vous les transmettrai, par exemple la suite considérée...

Merci, RoBeRTo-BeNDeR
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[invitecbade190]

Oui, on veut plus d'informations possibles ...

[RoBeRTo-BeNDeR]

Alors je vous explique très rapidement, Soit un -espace vectoriel. On note l'ensemble des parties de . On note l'ensemble des parties convexes de , soit , on définit l'enveloppe convexe de par on a donc et la plus petite contenant A pour , (on peut même montrer que cet ensemble est l'ensemble des barycentres de à coefficients positif).

Soit on note , mais en général on n'a pas mais une simple inclusion. J'ai montré que est l'ensemble , c'est à dire l'ensemble des points nécessaires pour engendrer .

Je note alors .

Soit on note , on assimilera et à deux fonctions.

En fait effectue "un pas" de la construction telle qu'on la ferait à la règle de l'enveloppe convexe de A, c'est a dire que je dirai avec de gros guillemets que .

Donc pour l'instant je prend , et je construit la suite d'ensembles et pour , je pense donc que la suite tend vers mais pour faire les choses proprement il me faut une topologie au moins sur .

Dans un cas plus général on prend une partie de , on définit par et pour , on devrait avoir alors que tend vers ... donc il me faudrait au moins une topologie sur .

Donc si quelqu'un a une idée de topologie applicable dans ce cas là pouvant être intéressante...

[Tiky]

Bonjour,

Je ne pense pas qu'il faille parler de topologie ici. Ne voudrais-tu pas démontrer plutôt (en reprenant les notations de la fin de ton message ) :


En utilisant le fait que H(A) est l'ensemble des barycentres à coefficients positifs, ça me parait assez évident.

Ce qui me parait assez dérangeant avec le fait d'utiliser une topologie ici est qu'il faille en choisir une.

[A voir en vidéo sur Futura]

[RoBeRTo-BeNDeR]

Oula oui je n'avais même pas pensé à cela -_-' pourtant je l'ai fait 10 fois avant -_-'

Oui car la convergence dépend de la topologie choisie enfin "converge" "converge pas".

Merci.

[Tiky]

Si tu tiens vraiment à faire une topologie pour laquelle ton assertion est vraie, tu peux tricher en partant du résultat.
On va donc donner une topologie à .

On considère donc qui est un ensemble partiellement ordonné.
On définit dessus une topologie par ses fermés.

est dit fermé si et seulement si :

[RoBeRTo-BeNDeR]

Merci je la note
Je n'ai que très rarement fait de la topo donc pas encore certains automatismes pour en trouver ...

[Tiky]

Alors n'hésite pas à démontrer que pour cette topologie, on n'a effectivement la convergence souhaitée

Note que pour cette topologie est plus d'intérêt que la topologie grossière, il faudrait qu'elle soit séparée. Ce que je n'ai pas vérifié.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Ok je vais voir ca merci encore. J'essayerai de voir si elle est séparée au passage.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Donc F est un fermé si quand il contient une suite croissante d'ensemble, il contient la réunion de tous les termes, on notera cet ensemble.

L'appartenance de E et du vide sont triviales, Soit , Soit alors et nous donnent car donc . Donc donc , voilà pour l'intersection quelconque. Pour la réunion finie on doit sûrement considérer pour chacune si je ne me trompe pas, en utilisant la distributivité, j'essaierai de tout faire ca demain.

[Tiky]

Pour l'union finie, il suffit de remarquer que si tu prends une suite (croissante) dans cette union, il y a nécessaire une sous-suite
qui appartient à l'un des éléments de l'union.