Continuité et polynôme

[invite282d0678]

Bonjour,

soit P un polynôme de R[X], êtes-vous d'accord avec cela : P est continue en un point a si l'on a : ?
Et dans ce cas il est aisé de montrer qu'un polynôme est continu en tout point puisque l'on aura :

Où est-ce que je me trompe ?
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[inviteea028771]

Oui, les polynômes (vus comme une fonction de R dans R muni de la topologie usuelle) sont bien continus en tout point.

Après, pour montrer que, effectivement, on a bien lim P(x) = P(a), comment tu fais, quels théorèmes et/ou propriétés tu utilises? ("ça parait évident" n'est pas une réponse valable )

[invite282d0678]

Rah mince, tu étais obligé de rajouter cette parenthèse ?

[inviteea028771]

Il est important de savoir "pourquoi" c'est évident : ici c'est parce qu'un polynôme est une somme de produits de fonctions continues, et que la somme et le produit conservent la continuité.

Si on voulait détailler un peu :

La fonction f(x) = x est continue, car .
(En effet, tq (la continuité est même uniforme) )
De même, les fonctions constantes sont continues

Le produit de deux fonctions continues est continue :

Si et Alors, par théorème d'opérations sur les limites

Donc par récurrence simple sur le degré, les monômes sont continus
Par le même théorème, les fonctions de la forme sont continus (produit de deux fcts continues)

La somme de deux fonctions continues est continue :

Si et Alors, par théorème d'opérations sur les limites


Donc par récurrence simple, tout polynôme est continu : on est sauvé !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite282d0678]

Merci bien pour cette explication claire.

Et effectivement, j'ai bien conscience que de savoir pourquoi "c'est évident" est important, et c'est justement ce qui me chiffonne, je galère toujours à montrer des choses basiques ... Et donc plus le temps passe et plus je galère tout court en maths (analogie entre les maths et un château de cartes ...). Enfin bref on n'est pas ici pour parler de ma vie

[invite282d0678]

Je me demandais, le fait d'être sur C plutôt que R change-t-il quelque chose ?