convergence uniforme de série de fonction

[invite99e93d4e]

Bonjour j'ai encore une petite question sur les séries:

je cherche à savoir si la série suivante converge uniformément et sur quel(s) interval(s) de R:


en 0 la série diverge simplement par Riemann donc la série ne peut pas converger uniformément sur R.
donc je vais l'étudier en [a,[,a>0
j'ai essayé avec la convergence normal mais il y a un petit détail dont je ne suis pas certain:



donc la série converge normalement , et donc uniformément sur .
Peut-on en conclure qu'elle converge uniformément sur ?(les cours de topologie m'embrouille un peu)
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[invited7e4cd6b]

Bonsoir,
La convergence normale implique la convergence uniforme lorsqu'on travaille dans un Banach.
On a bien convergence normal si l'on travaille sur les intervalles [a,+l'infini[ ou a>0.
Pour être plus précis, on parle d'une convergence localement uniforme.
Ta question revient a dire que le reste de la série harmonique tend vers 0. Ce qui n'est pas le cas.