fonction lipschitzienne

[invite1f452995]

Bonsoir a toutes et a tous,
j'ai deux petite questions sur les fonctions lipschitziennes.

J'aimerais montrer que la fonction x->sin(x^2) n'est pas lipschitzienne de R dans R.
Pour cela je commence a calculer abs((sin(y^2)-sin(x^2))mais je ne sais pas que faire apres pour aboutir a une contradiction avec la definition.

Autre petite question, on a f lispschitzienne et et on veut montrer que alors x->(1/1+f^2(x)) est lipschitzienne,
pour cela je pars de la definition je calcule la difference des images et on aboutit donc a (f^(y)-f^2(x)/((1+f^2(x))*(1+f^(y))).
est-ce que a ce moment la je peux dire que le numerateur est inferieur a (f(y)+f(x))*K*Abs(y-x) (car f lipschitzienne)
et redefinir un nouveau K prenant en compte K et le denominateur ??

Merci d'avance.
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[Snowey]

Une idée pour la première (je ne suis pas sûr que ça soit plus simple): tu peux essayer de montrer que n'est pas uniformément continue sur . Une conséquence sera qu'elle ne peut pas être lipschitzienne (car sinon, elle est uniformément continue, or ... ^^)

[Snowey]

Bon, je montre qu'elle n'est pas uniformément continue si tu veux
Je pense que le plus simple, c'est d'utiliser la caractérisation séquentielle de l'uniforme continuité: .
Ici, on peut par exemple poser et . On voit assez bien que donc que la différence tend vers 0 et que .
Par la caractérisation précédente on a le résultat

f n'étant pas UC, elle ne peut pas être lipschitzienne ^^

[Snowey]

Sinon, je pense que dans ce cas on peut faire le même raisonnement sans parler d'uniforme continuité:
Tu supposes par l'absurde qu'elle est lipschitzienne de rapport K. On a donc , et en particulier,
.
Or , il y a donc contradiction !

Peut être que cette vision du problème qui utilise directement la définition d'être lipschitzien correspond mieux à votre question

Snowey

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1f452995]

Merci beaucoup Snowney,
c'est vrai que ta derniere reponse est plus proche de ce que l'on a fait en classe, j'ai juste une petite question.. je ne comprends pas bien comment tu
fais pour avoir l'equivalence dans ta derniere ligne...

[Snowey]

Euh ... mais parce que