Question sur les intégrales impropres et multiples

[invitea2257016]

Bonjour à tous!
J'aurai plusieurs questions à vous poser s'il vous plait.

Premièrement dans un exercice corrigé j'ai vu que pour une intégrale multiple, prenons une intégrale double par exemple, si la fonction de l'intégrale est un produit de fonctions x et de y, alors on peut séparer l'intégrale double en multiplication de deux intégrales simples comme ceci:
.
où D = [0,1[²
J'aimerai savoir pourquoi peut - on faire ça svp?

Deuxième question, soit une fonction continue f, la règle suivante est - elle vraie et si ce n'est pas le cas pourquoi je vous prie:
Soit l'intégrale , alors si f(a) = d < et lim_x-> f(x) = 0, alors converge.
Cette règle est-elle vraie?

Merci d'avance
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[inviteea028771]

Pour la première ça n'est vrai que si le domaine est de la forme [u,v]x[a,b] (et si tout est convergent : y'a du théorème de Fubini pour faire ça proprement).

Si on note et alors



Si le domaine n'est pas un pavé, c'est tout de suite plus délicat :



Tu choisirai quels domaine d'intégration pour les deux intégrales?

Et si on intègre sur {x²+y² < 1}?

La formule n'est donc plus valable


Pour ta seconde question, que pense tu de l'intégrale de f(x) = 1/x entre 1 et +oo? Est ce qu'elle converge? Est ce qu'elle vérifie tes hypothèses?

[invitea2257016]

Merci beaucoup j'ai compris pour les 2 question .
Pour le domaine d'intégration je ne sais pas du tout, je ne savais même pas qu'un domaine comme ca pouvait exister.
Sinon autre question, quand une intégrale diverge, elle n'existe pas?

Merci