théorème de Rolle

[inviteebb51a33]

en raisonnent par l'absurde et grâce au théorème de Rolle, je doit démontrer que e^x=1-x admet une unique solution

j'ai posé e^x-1-x=0 et je dis que celà est mon g'(x)
ainsi j'intégre, g(x)=e^x+1/2x^2-x+cst
je calcule la lim en + et - infini qu'ils sont égaux à +oo
je remarque que les 2 lim sont égales, houra -> théorème de rolle, il existe un c tq g'(c)=0
je suppose qu'il existe c et d appartenant à R => f'(c)=f'(d)=0 c différant de d
c=> e^x+x-1=0 admet plusieurs sol?
e^c+c-1=e^d+d-1
au final pour faire cour ln(e^c-e^d)=ln(d-c)
c/d = ln d/ lnc
c =d ce qui est absurde
bref je suis tout content sauf que...le prof passe et ma copie est au voisinage de 0--
mais pourquoi, merci d'une aide
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[Tiky]

Bonjour,

Le théorème de Rolle s'applique sur un segment. Tu ne peux l'appliquer sur R tout entier.
L'énoncé tel que je le connais :
Soit f une fonction dérivable sur telle que .
Alors il existe un tel que .

Essaye de démontrer cet énoncé, tu verras que le fait de travailler sur un intervalle fermé et borné est capital.

Pour ton exercice, tu poses .
Supposons que l'équation admet deux solutions distinctes .
Alors . Tu appliques le théorème de Rolle sur le segment à la fonction g.

[invite705d0470]

Plus naturellement, tu peux supposer qu'il y a deux solutions à et b distinctes (dont une est évidente: x=0) En notant f(x)= exp(x)-x-1, on a f(a)=f(b)=0, f continue, dérivable ... Donc on peut appliquer Rolle: il existe c entre a et b strictement (et donc different de 0) tq f'(c)=0, soit exp(c)-1=0.
Comme exp est injective, si exp(y)=exp(0)=1 alors y=0. Donc c=0, ce qui est impossible d'après Rolle ( c différent des 0, donc de 1)
Contradiction !

[Tiky]

Pour autant l'assertion suivante est juste mais elle nécessite une démonstration (qui utilise le lemme de Rolle) :
Soit f dérivable sur R tel que et existent (pas nécessairement fini) et . Alors il existe un tel que .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Plus naturellement, tu peux supposer qu'il y a deux solutions à et b distinctes (dont une est évidente: x=0) En notant f(x)= exp(x)-x-1, on a f(a)=f(b)=0, f continue, dérivable ... Donc on peut appliquer Rolle: il existe c entre a et b strictement (et donc different de 0) tq f'(c)=0, soit exp(c)-1=0.
Comme exp est injective, exp(y)=1 ssi y=0. Donc c=0, ce qui est impossible d'après Rolle.
Contradiction !

Attention son équation est exp(x) = 1-x et non exp(x) = 1+x.

[Tiky]

Bon en fait dans son message les deux équations apparaissent...

[invite57a1e779]

je doit démontrer que e^x=1-x admet une unique solution

j'ai posé e^x-1-x=0

L''équation n'est plus la même au bout d'une ligne de calcul...

au final pour faire cour ln(e^c-e^d)=ln(d-c)
c/d = ln d/ lnc

Cette dernière équation ne me paraît pas découler immédiatement de la précédente.

le prof passe et ma copie est au voisinage de 0--
mais pourquoi

Parce que la plupart des arguments proposés ne sont pas valides...

[inviteebb51a33]

ok merci je suis sur la voie...je pense