Ensembles élémentaires ( intégral de Lebesgue )

[invite00c73359]

Bonjour,

Un ensemble élémentaire est une réunion finie de sous intervalle borné. J'aimerais savoir comment démontrer les propriétés de l'ensemble des ensembles élémentaires ou au moins des indications :
->A et B deux ensembles élémentaires, l'union de A et B est un ensemble élémentaire, de même pour l'intersection, pour A privé de B et pour A B.
->Chaque ensemble élémentaire s'écrit comme réunion finie de sous intervalles bornés deux à deux disjoints
->pour chaque famille finie d'ensembles élémentaires il existe une famille finie de sous intervalles bornés deux à deux disjoints telle que : chaque élément soit réunion des inclus dans et la réunion des est égale à la réunion des

Merci !
-----

[invite00c73359]

Pour le premier point si je dis que A privé de B est égale à l'union des Ai privé de Bi où Ai et Bi sont les intervalles bornés de la décomposition de A et de B. Puisque vu que Ai et Bi sont des intervalles bornés Ai privé de Bi est un intervalle borné. De plus même si il n'y a pas forcément le même "nombre" de Ai que de Bi on peut "égaler" en supposant que la famille finie des Ai a plus d'éléments que la famille des Bi par exemple ( c'est pareil qui si on suppose l'inverse ) et en posant Bi égale au vide pour A privé de B ( ça change si on travaille sur A inter B ). Voilà j'ai un doute quant à l'égalité entre A privé de B et l'union des Ai et Bi. Pour les autres c'est le même principe.

Voilà c'est une idée dites moi ce que vous en pensez ! Et désolé pour le texte à la place de l'écriture mathématique en Latex ce n'est pas l'idéal mais je suis sur portable.

Merci encore !

[taladris]

Salut,

je n'ai pas vérifié tous les détails mais intuitivement je dirais:
-> pour l'union, c'est évident.
-> pour l'intersection, tu peux utiliser le fait que l'intersection de deux intervalles bornés est soit un intervalle borné, soit vide.
-> Une différence d'ensembles, c'est une intersection d'un ensemble et du complémentaire d'un autre. Remarque alors que le complémentaire d'une union finie d'intervalles bornés est une union d'intervalles (pas forcément bornés). Le caractère non borné n'est pas important car l'intersection avec un intervalle borné donne un intervalle borné.
-> Une différence symétrique est une union de différences, donc tu peux utiliser les points précédents.

Pour ton raisonnement, pas la peine de s'embêter à savoir s'il y a autant de que de (utilise des indices différents!! Sinon, c'est difficile à comprendre). Utilise le fait que , donc tu n'as besoin que de considérer chaque indépendamment.

Pour montrer qu'un ensemble élémentaire est une union disjointe d'intervalles, on peut utiliser une astuce classique (tu l'utiliseras 1000 fois en théorie de la mesure): soit E ton ensemble élémentaire. Numérote les intervalles bornés dont l'union est E. On pose alors puis pour . Alors E est union disjointe des ensembles . Pour conclure, il suffit de remarquer que est soit vide, soit un intervalle, soit une union disjointe de deux intervalles bornés.

Pour la dernière question, tu dois pouvoir utiliser la même astuce que pour la précédente.

En espérant n'avoir pas dit (trop) d'âneries... j'ai écrit ça "à l'instinct"

[invite00c73359]

D'abord merci de votre réponse !

Pour le premier point l'egalité donnée avec la différence de deux ensembles est valable pour l'intersection et les autres opération ? De plus je ne vois pas ce que représente l'union sur i et j en même temps ( c'est une double union ? ) ... Désolé cela fait longtemps qu'on a pas fait ce genre de chose ^^

Pour le second point j'aurais jamais deviné

Enfin pour le dernier point si j 'utilise le point précédent en disant que l'union des ensembles élémentaires est un ensemble élémentaire et donc il existe une famille Ik etc ... Maintenant pour montrer l'autre : chaque Ai est réunion des Ik qu'il contient je vois pas ...

Merci encore !

[A voir en vidéo sur Futura]

[taladris]

Désolé de répondre tardivement, j'étais loin d'Internet pendant quelques jours.

Pour le premier point l'egalité donnée avec la différence de deux ensembles est valable pour l'intersection et les autres opération ? De plus je ne vois pas ce que représente l'union sur i et j en même temps ( c'est une double union ? ) ...

Je suis presque sûr de ma formule mais ne l'ai pas vérifié. Vu que personne n'a bondi pour me traiter de mystificateur, c'est qu'elle doit être juste

Si est un ensemble doublement indicé, alors on a (puisque deux quantificateurs commutent). Souvent, pour simplifier l'écriture, on écrit .

Désolé cela fait longtemps qu'on a pas fait ce genre de chose ^^

C'est comme le vélo, ça ne s'oublie pas ^^ (ou ça se réapprend très vite)

Enfin pour le dernier point si j 'utilise le point précédent en disant que l'union des ensembles élémentaires est un ensemble élémentaire et donc il existe une famille Ik etc ... Maintenant pour montrer l'autre : chaque Ai est réunion des Ik qu'il contient je vois pas ...

OK pour la construction des . Par construction, cela implique que . Pour tout j, on note l'ensemble des entiers k tels que est inclus dans . On a alors . Pour l'inclusion inverse, si x est un élément de , alors x est élément de (par définition de et le fait que les soit disjoints deux à deux), ce qui est absurde.

[invite06d51b6b]

Bonsoir,

Voilà le problème que j'ai à traiter :

1 - Déterminer les ordres des éléments du groupe Z/2Z x Z/2Z. En déduire que les groupes Z/2Z x Z/2Z et Z/4Z ne sont pas isomorphes.

2 - Montrer que tous les éléments x du groupe Z/6Z x Z/10Z vérifient la relation 30x=0. En déduire que les groupes Z/6Z x Z/10Z et Z/60Z ne sont pas isomorphes.

3 - Soient M et N deux entiers naturel dont le pgcd n'est pas égal à 1. Montrer que les groupes Z/NZ x Z/MZ et Z/MNZ ne sont pas isomorphes.

Pour le 1 - Z/2Z x Z/2Z = { (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) }

donc déjà on a : ordre de Z/2Z x Z/2Z = 4

ce qui implique que l'ordre des éléments de Z/2Z x Z/2Z sera : 1, 2 ou 4 (diviseurs de 4)

pour l'ordre des éléments : je sais juste que (1,1) est d'ordre 1

mais pour les autres d'habitude on calcule les puissances jusqu'a obtenir (1,1) et on en déduit l'odre de l'élement, mais là peut importe la puissance (0,0) restera (0,0) (de même pour (0,1) et (1,0)). Donc je ne sais pas comment conclure !

Je pense que normalement on trouvera pas d'éléments d'ordre 4 donc c'est pas pour ca que les 2 groupes ne sont pas isomorphes.

Pour la 2 - je pense qu'il faut utiliser : soit G un groupe, g appartenant à G un élément d'ordre n alors pour tout k appartenant à Z, est d'ordre fini et son ordre divise m et est :

mais après je ne sais pas quoi en faire !

[invite00c73359]

Merci pour ta réponse !

C'est bon pour les 4 points !

Sinon pendant que j'y suis si quelqu'un a une idée d'une fonction mathematica ou d'une méthode pour tracer une fonction de variable x mais dépendante de t ( t représente le temps, variant de 0 à 20 secondes par exemple avec un pas de 1 seconde ), c'est-à-dire que je voudrais tracer la fonction pour x allant de -10 à 10 par exemple pour toutes les valeurs de t ( de 0 à 20 secondes avec un pas de 1 seconde dans mon exemple ) mais sans avoir une liste de plot ou un tableau de plot, le nouveau plot ( avec la valeur de t changée en t+1 ) remplaçant l'ancien plot ...

Je ne sais pas si c'est très clair ( je faisais ça avec les threads en Java ) mais merci d'avance !

PS : Désolé pour darkking mais de peur de dire une bêtise je vais m'abstenir

[invite00c73359]

Bonjour,

J'ai trouvé pour la fonction mathematica ! Il s'agit de la fonction Animate.

J'en profite encore pour poser une question sur le calcul différentiel cette fois ( histoire de ne pas créer de nouvelle discussion à chaque fois ) :

On a commencé le calcul différentiel sur les espaces de Banach il y a peu et on a généralisé la notion de dérivabilité ( différentiablilité ) que l'on connait sur R. Seulement en exemple on a montré qu'une fonction linéaire est différentiable en tout point et que sa différentielle en tout point est elle même. Je ne comprends pas avec l'analogie sur R : une fonction linéaire de R dans R s'écrit bien f(x)=ax pour tout x dans R, elle est bien dérivable en tout point de R mais sa différentielle n'est pas elle même mais f'(x)=a. Le prof nous a sorti une explication avec la fonction f' que l'on peut écrire (a) ou quelque chose comme ça mais je n'ai rien compris et j'ai pas eu le temps de lui demander.

Merci de votre aide encore une fois !

[taladris]

J'en profite encore pour poser une question sur le calcul différentiel cette fois ( histoire de ne pas créer de nouvelle discussion à chaque fois ) :

Je n'ai jamais lu la charte du forum mais l'usage ici est de faire des discussions séparées, ne serait-ce que pour faciliter les recherches ultérieures.

On a commencé le calcul différentiel sur les espaces de Banach il y a peu et on a généralisé la notion de dérivabilité ( différentiablilité ) que l'on connait sur R. Seulement en exemple on a montré qu'une fonction linéaire est différentiable en tout point et que sa différentielle en tout point est elle même. Je ne comprends pas avec l'analogie sur R : une fonction linéaire de R dans R s'écrit bien f(x)=ax pour tout x dans R, elle est bien dérivable en tout point de R mais sa différentielle n'est pas elle même mais f'(x)=a.

Je ne connais rien à la différentiabilité sur les espaces de Banach de dimension infinie, donc je me contenterai de la dimension finie. Et pour simplifier encore, je ne considérerai que des fonctions f définies sur un ouvert U de .

La différentielle de f en un point a de U est une application linéaire de sur que l'on note . Si n=1, alors il est facile de voir que la différentielle de f en a est définie par . Mais puisque la différentielle de f en a est une application linéaire, on peut lui associer une matrice (*). Pour n=1, cette matrice est .

Mais l'espace des matrices carrées d'ordre 1 est canoniquement isomorphe à via (**). Via cet isomorphisme, la différentielle en un point d'une fonction d'une variable réelle s'identifie naturellement à sa dérivée en ce même point. Et par conséquent, l'application différentielle d'une telle fonction s'identifié à son application dérivée .




(*) usuellement, dans la base canonique de . Si l'espace de Banach n'est pas , il faut fixer une base.

(**) En fait, personne n'étudie vraiment les matrices (1,1) et cet isomorphisme canonique n'a aucun intérêt en pratique. A vrai dire, je n'ai vu cet identification que dans des cours de calculs différentiels ^^