[Maths Sup - Informatique] Récurrence

[invitec41a5aae]

Bonjour,

Je suis en option informatique, et j'ai la récurrence suivante à résoudre : u₀ = 1, u_n+1 = 3u_n + 3ⁿ + n. Un peu violent, n'est-ce pas ?

Ce que j'ai fait, c'est que j'ai résolu le système homogène u_n+1 = 3u_n et j'ai trouvé des solutions de la forme u_n = K*3ⁿ. Toutefois, je ne sais pas bien comment trouver K...

Merci d'avance pour votre aide et vos explications !
-----

[invite57a1e779]

Bonjour,

Même technique que pour les équations différentielles : la résolution de la récurrence homogène ne fournit pas directement les solutions du problème.
Mais la méthode de variation de la constante conduit à chercher la suite sous la forme avec , donc .
Il faut alors injecter cette expression de dans la relation de récurrence pour en déduire une relation de récurrence sur .

[invitec41a5aae]

C'est un peu l'idée que j'avais eu, mais j'arrive pas à la trouver justement, cette relation de récurrence. En injectant dans l'équation, on trouve pas un truc très joli et j'arrive pas à aller plus loin du coup...

[invite57a1e779]

La récurrence est de la forme K_n+1-K_n=...

En additionnant les égalités ainsi obtenues, et avec un petit télescopage, on calcule K_n-K₀, et on en déduit l'expression de K_n en fonction de n.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec41a5aae]

Ah, c'est bon, j'ai réussi !
Merci beaucoup