exo maths recurrence

[invitef2636594]

Bonjour,
J'ai un exercice dans lequel je bloque un peu.

On considère la suite U0=0
Pour tout entier naturel n, Un+1= 5Un+4 / Un+2

1- Etude de la fonction associé a la suite Un. (variation de f sur [-1;4] et en deduire que, pour tout réel x [-1;4], f(x)[-1;4])
f(x)=5x+4 / x+2

5x+4 est une fonction affine, avec a positif sur [-1;4] donc croissante
x+2 est une fonction affine, avec a positif sur [-1;4] donc croissante
On en déduit que f(x) est croissante sur [-1;4]

Je n'es pas réussi à montrer que pour tout réel x [-1;4], f(x)[-1;4] ????

2- Illustration graphique --> Fait
3- Montrer a l'aide d'un raisonnement par récurrence que , pour tout entier n, -1Un4

[i]Notons : P(n) : "-1Un4"

Initialisation : (n=0) U0=0 donc -1U04
donc P(0) est vrai
Hérédité : supposons P(n) est vraie pour un certains rang n, c'est à dire : -1Un4

Et La je n'y arrive pas.


Merci de votre aide
Linaya
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[inviteea028771]

5x+4 est une fonction affine, avec a positif sur [-1;4] donc croissante
x+2 est une fonction affine, avec a positif sur [-1;4] donc croissante
On en déduit que f(x) est croissante sur [-1;4]

On peut avoir g(x) croissante, h(x) croissante mais f(x) = g(x)/h(x) décroissante, par exemple la fonction sur .

Il faut absolument étudier le signe de la dérivée sur l'intervalle pour connaitre les sens de variations de la fonction.

Bon, ici tu as de la chance, tu tombes juste, mais le raisonnement est faux. Dans un controle tu n'aurai pas les points


Pour montrer que en sachant que f est croissante sur [-1,4], il faut calculer f(-1) et f(4). En effet, f croissante veut dire :


Donc on remplace d'abord y par 4, ce qui donne :

ou dit autrement :


Puis on remplace x par -1 :

ou dit autrement :


En regroupant ces deux inégalités, on obtient :


Or f(-1) = -1 et f(4) = 4, donc f(x) appartient à [-1,4]



Pour la question 3, il faut te servir du fait que

Donc d'après la question 1, si , alors on a c'est à dire : L'hérédité est vérifiée

[invitef2636594]

merci de ton aide, je vais revoir ma méthode