suites et espaces vectoriels

[invite39ac77b7]

Bonjour , voici l’énoncé suivant:

Soit a, b deux réels distincts et E l'ensemble des suites de réels vérifiant la relation de récurrence: pout tout n>0: u_n+2-(a+b)u_n+1+abu_n=0

1) Montrer que E est un sev de l'espace vectoriel R^N des suites réelles.
2) Montrer que les suites (aⁿ)_{n dans N} et (bⁿ)_{n dans N} forment une famille libre de E.
3) Montrer que f: (u_n)_{n dans N} dans E |--->(u₀,u₁) dans R² est linéaire puis bijective ("simple").
4) En déduire dim E et donner une base de E. En déduire la forme générale d'un élèment de E.
5) Exemple: déterminer (u_n)_{n dans N} telle que u₀=1 et u₁=1 vérifiant u_n+2-u_n+1-2u_n=0 pour tout n entier.


Pouvez-vous m'aider SVP
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[NicoEnac]

Bonjour,

Tu ne montres pas vraiment ce que tu as fait jusque là... As-tu réussi à commencer ?

Le début est extrêmement simple : pour montrer qu'un ensemble est un sev d'un autre, on applique bêtement la définition :
E est un sous-ensemble non vide de l'ensemble des suites réelles (pas trop dur).
E est stable par combinaison linéaire.

[invite39ac77b7]

ce que j'ai fais :

- la suite réelle nulle est dans E donc E est non vide
-pour u_n+2-(a+b)u_n+1+abu_n=0
u_n+2 ∈ R
(a+b)∈ R
u_n+1 ∈ R
ab∈ R
u_n ∈ R

DONC u_n+2-(a+b)u_n+1+abu_n ∈ R donc E es stable par combinaison linéaire

CONCLUSION: E est un sev de R^N

C'est BON?

[NicoEnac]

Pour montrer que l'ensemble est non vide, tu dis que la suite U_n = 0 (la suite nulle) y appartient. En effet, U_n+2-(a+b)U_n+1+abU_n = 0.
Ton raisonnement est donc bon.

Par contre, ce n'est pas bon pour la combinaison linéaire :

Pour cela il te suffit de considérer deux suites (U_n) et (V_n) appartenant à E et un réel m.
La suite (W_n) définie par : W_n = U_n + m.V_n appartient-elle à E ? Pour cela, il faut vérifier que (W_n) vérifie l'équation de l'énoncé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite39ac77b7]

Pour la combinaison linéaire:

Soit (U_n) et (V_n) ∈ E et m ∈R
et W_n=U_n+mV_n

W_n+2-(a+b)W_n+1+(ab)W_n
=U_n+2+mV_n+2-(a+b)(U_n+1+mV_n+1)+(ab)(U_n+mV_n)
=U_n+2-(a+b)U_n+1+(ab)U_n+m(V_n+2-(a+b)V_n+1+V_n)

or U_n+2-(a+b)U_n+1+(ab)U_n=0 et V_n+2-(a+b)V_n+1+V_n=0

donc W_n+2-(a+b)W_n+1+(ab)W_n=0

Conclusion E est stable par combinaison linéaire

Pour la 2)

je sais que la définition d'une famille libre est:: on dit qu'une famille (x₁,x₂,...,x_n ) ∈ E^p est libre lorsque pour tout λ₁, λ₂,..., λ_n ∈ K

λ₁x₁+λ₂x₂+...+λ_nx_n=0 => λ₁=λ₂=...=λ_n=0

cmt l'utiliser pour (aⁿ) et (bⁿ) ???

[invite39ac77b7]

3)
Soit (U_n), (V_n) ∈ E et m,n ∈ R

f(mU_n+nU_m)

=(mU₀+nV₀;mU₁+nV₁)

=(mU₀;mU₁)+(nV₀;nV₁)

=mf(U_n)+nf(V_n)

Donc f est une application linéaire


Deplus dim E=2 car U_n+2 est d'orde 2
et dim R²=2
Donc dim E= dim Kⁿ

Conclusion f est bijective ( car f est lineaire et dim E= dim Kⁿ) ====> mais la je répond à la Q4 il n'y a pas un autre moyen de montrer que f est bijective?

[invite39ac77b7]

pour la 2)
Soit λ₁;λ₂ ∈ R et (aⁿ) , (bⁿ) ∈ R

λ₁aⁿ+λ₂bⁿ=0

or pour tout n ∈ N ,aⁿ≠0 et bⁿ≠0

donc λ₁=λ₂=0

Conclusion: (aⁿ) et (bⁿ) forment une famille libre de E

[invite705d0470]

Hum... Une combinaison linéaire de deux suites qui ne s'annulent jamais peut être la suite nulle: prendre deux fois la même suite (cte égale à 1) et choisir λ=1, η=-1.
Je ne pense pas que ce soit le bon argument ! (en fait, c'est vraiment rare que ce type de raisonnement fonctionne dans les ev).
Bon mais pas loin: la relation étant vraie pour tout n, elle l'est pour n=0 et n=1. Si de plus, par hypothese, a et b sont différents tu peux conclure λ=η=0, ce qui donne la liberté !
(bon, je suppose que tu as vérifié que ces suites sont bien des vecteurs de E ^^): et on a ((a),(b)) famille libre de E