Démontrer qu'une matrice (n,n) est orthogonale

[invite97a526b6]

Bonjour, voici ma question:

On donne une matrice carrée (n,n) dont la dernière ligne est donnée:
dernière ligne: n^-1/2 ... n^-1/2
Montrer qu'il existe une matrice orthogonale de cette forme ?

Pour qu'une matrice soit orthogonale, il faut et il suffit:
- la norme des vecteurs colonnes est 1
- le produit scalaire de toutes les paires de vecteurs colonnes est 0

En appliquant ceci, je suis conduit à une multitude d'équations que je suis incapable de résoudre. Il doit donc avoir une astuce, mais laquelle ?
Merci à qui me mettra sur la voie.
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[Tiky]

Bonsoir,

Tu peux commencer par traiter à la main les cas 2, 3 et 4. Inutile de faire des équations dans tous les sens.

[invite9617f995]

Bonjour,

Une matrice est orthogonale si et seulement si ses lignes forment une base orthonormée de Rⁿ.
Ici tu as déjà un vecteur ligne : tu vérifies qu'il est normé et ensuite l'existence de ta matrice orthogonale vient du fait que pour tout vecteur normé, tu peux toujours trouver une b.o.n qui contient ce vecteur.

Silk

[invite97a526b6]

Bonsoir,

Tu peux commencer par traiter à la main les cas 2, 3 et 4. Inutile de faire des équations dans tous les sens.

C'est bien ce que j'ai essayé de faire pour essayer de trouver une loi de récurence: autant c'est facile pour (2,2), autant c'est déjà compliqué pour (3,3) au point que je n'ai pas pu résoudre le système pour une matrice (3,3), alors (4,4)...

Merci quand même pour réponse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite97a526b6]

Bonjour,

Une matrice est orthogonale si et seulement si ses lignes forment une base orthonormée de Rⁿ.
Ici tu as déjà un vecteur ligne : tu vérifies qu'il est normé et ensuite l'existence de ta matrice orthogonale vient du fait que pour tout vecteur normé, tu peux toujours trouver une b.o.n qui contient ce vecteur.

Silk

Merci. Je pense que tu réponds bien à ma question. L'erreur à ne pas faire est d'essayer de calculer explicitement les termes de la matrice.