Montrer qu'une famille est libre.

[invite62b59abd]

Bonjour a tous,

Je suis à la question de l'exercice 2 de ce DM : http://www.cpge-brizeux.fr/casiers/erd/1112/DM/dm10.pdf

On me demande de démontrer que la famille constituée des deux vecteurs exp(a1t), exp(a2t) est libre.


Mais voici ce que je trouve :

Soit (L,M) un couple de réels

Si L*exp(a1t)+M*exp(a2t) = 0

Alors il est possible que L=M=0, c'est vrai, mais il se peut aussi que par exemple :
L=1
a1=1, donc exp(a1t)=2.71
M=-2.71
a2=0 donc exp(a2t)=1

On a alors bien 2.71-2.71=0


Y'a t'il une erreur dans mes calculs ? Ou alors je n'ai pas compris quelque chose ?

Merci d'avance
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[invite34b13e1b]

Salut,
la formule L*exp(a1*t)+M*exp(a2*t) doit être vérifiée pour tout t.
Ainsi quand tu pose L=1, a1=1,M=-2.71 et a2=0, tu dis que: pour tout t dans R, exp(t)-2.71=0

[invite62b59abd]

Ah oui effectivement.

Mais comment vérifier l'égalité "Si L*exp(a1t)+M*exp(a2t) = 0 alors L=M=0" ?

Car pour tout t, les exponentielles seront positives strictement, mais ca ne suffit pas pour vérifier l'égalité si ? Il n'y aura pas des cas ou la somme sera nulle sans que L=M=0 ?

[invite705d0470]

Non justement

Regarde, tu considères et tu supposes que, pour tout réel t, on a la relation suivante vérifiée: .
Bon, plusieurs méthodes pour trouver, mais en voilà une assez rapide (basée sur l'idée que les vecteurs de cette famille ne diffèrent que par leur "vitesse de convergence" ):
En écrivant par exemple que celà revient à , tu peux obtenir (en passant à la limite), que l'un des deux coefficients est nécessairement nul (selon le signe de la différence des a, qui est de toute façon non nulle). Par suite, d'après ta question 1 l'autre est aussi nul, ce qui te donne la liberté de cette famille.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite62b59abd]

D'accord !!

Merci beaucoup, j'ai compris le truc

[invited7e4cd6b]

Bonjour,
En particulier pour t=0,
u=-v (les deux réels supposes non nuls)
D'ou u(exp(a₁t)-exp(a₂t)) = 0. avec a₁ différent de a₂, on arrive au résultat voulu .