Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

[invite9dc7b526]

Gödel dans ses écrits philosophiques, soutient que le vrai existe en mathématiques. Il croyait à une existence "immanente" des objets mathématiques, hors de toute théorisation. C'est du moins ce que j'en ai compris. Mais je pense que cette position philosophique est très minoritaire, et de plus n'a pas d'incidence sur la manière de faire des mathématiques.

[karlp]

Gödel dans ses écrits philosophiques, soutient que le vrai existe en mathématiques. Il croyait à une existence "immanente" des objets mathématiques, hors de toute théorisation. C'est du moins ce que j'en ai compris. Mais je pense que cette position philosophique est très minoritaire, et de plus n'a pas d'incidence sur la manière de faire des mathématiques.

Vous n'avez pas tort: Gödel était platonicien et l'était d'ailleurs sans la moindre réserve (il affichait une forme de certitude qu'on a coutume de rencontrer chez les psychotiques). D'après Cassou-Noguès, il aurait refusé de se rendre à l'enterrement de sa mère arguant de ce qu'elle ne s'en offusquerait pas, trop occupée qu'elle devait être à contempler les vérités mathématiques éternelles qui meublent le paradis. Gödel craignait également que les démons ne profitent de ce que son âme se trouve dans une sorte de no man's land entre le lieu sensible et le lieu intelligible lorsqu'il pratiquait les mathématiques pour le posséder.

Il s'agit effectivement d'une position strictement philosophique dont il est parfaitement inutile d'essayer de la prouver ou de la réfuter: elle est en dehors du champ de la science et c'est bien pour cela, pazuzen, que nous ne pouvons accepter qu'on affirme que de l'indémontrable peut être vrai (vous avez le droit de le croire, bien entendu, mais pas de le poser comme un fait).

[invite9dc7b526]

Il me semble qu'Alain Connes a plus ou moins la même position. Dans son livre d'entretiens avec Jean-Pierre Changeux, il prend comme exemple la suite des décimales de pi (c'est peut-être une autre suite, je l'ai lu il y a 30 ans). En gros il dit que le caractère erratique de cette suite fait qu'elle ne peut pas être encodée dans les axiomes de la géométrie (ou de l'arithmétique, d'où que ce soit qu'on sorte pi). Nous la découvrons mais elle existe en dehors de l'esprit humain.

mais ce sont en effet des position philosophiques qu'on ne peut réfuter. S'agissant de celles de grands mathématiciens, c'est tout-de-même intéressant d'y réfléchir.

[Médiat]

Une petite précision : le document issu de polytechnique (que je n'ai pas entièrement lu, je l'admets) me force à faire deux remarques :

1) Le titre "xxx. Incomplétude de la logique du premier ordre." aurait fait hurler Gödel qui a démontré, au contraire, la complétude de la logique du premier ordre.
2) Je veux bien mettre l'erreur ci-dessus sur le compte d'une "faute de frappe" dans la mesure ou la page 44, par exemple est une expression parfaite du théorème d'incomplétude de Gödel restreint à AP (ce qui est le but affiché de l'auteur, donc ce n'est pas un reproche). Cette formulation correspond à ma phrase 3) du message #55.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Je viens de lire ce document (jusqu'à la page 44), globalement c'est un bon document, en particulier la page 37, puisqu'il exprime ce que j'ai répété inutilement de très nombreuses fois ici : identité entre S1 et S2 du message #15 (point contesté par pazuzen, qui n'est donc pas d'accord avec les documents qu'il considère comme des références).

Par contre, la page 40 me plait moins :

Si une théorie sur une signature dénombrable possède un modèle, alors elle possède un modèle dont l'ensemble de base est dénombrable.

Ce n'est qu'une moitié du théorème de Löwenheim-Skolem (mais ce choix est peut-être justifié par l'audience ciblée), et le mot dénombrable est parfois (dans la littérature) utilisé avec le sens " de cardinal égale à ", et parfois dans le sens "de cardinal inférieur ou égal à ", or telle qu'exprimée, cette phrase est fausse avec la première définition, je pense donc que l'auteur a plutôt en tête la deuxième définition, mais c'est dommage d'avoir à se poser la question (ce document porte comme titre "Cours 3 ..." on peut espérer que cette ambiguïté est levée par les cours 1 et 2)

[invitea5cf685d]

A titre personnel, je trouve Godel aussi génial que fou
Il est mort de sa folie
Je ne suis pas en phase avec ses visions
Mais N'est ce pas admirable de lui expliquer en feed back les limites des theoreme qu'il a demontré ?

Maintenant, voici un autre lien
http://www.larecherche.fr/idees/entr...-06-2000-78066

[karlp]

A titre personnel, je trouve Godel aussi génial que fou
Il est mort de sa folie
Je ne suis pas en phase avec ses visions
Mais N'est ce pas admirable de lui expliquer en feed back les limites des theoreme qu'il a demontré ?

Maintenant, voici un autre lien
http://www.larecherche.fr/idees/entr...-06-2000-78066

Je me suis immédiatement arrêté sur ce propos que je trouve "malhonnête" (à moins qu'il ne soit que "maladroit" ?)

Cette position conduit d'une certaine manière à nier le caractère ontologique* de la réalité mathématique.

Il aurait été plus "honnête" (moins "maladroit" ?) de dire que cette position conduit à nier qu'on puisse se prononcer ("scientifiquement") sur le statut ontologique des objets mathématiques; ce qui est très différent.

Dans sa formulation Connes semble opposer deux attitudes "métaphysiques" (l'une qui affirme, l'autre qui nie ). En réalité ce qu'on oppose au platonisme n'est pas une position "symétrique" de celui ci. Le positivisme ou le scepticisme ne se fondent pas ici sur une croyance plus ou moins bien argumentée, mais sur un constat : on ne peut pas savoir et donc laissons ces spéculations en dehors d'un champ où elles n'ont rien à apporter.

(Son analogie avec le tribunal procède d'une même malhonnêteté)

[invite82078308]

Arguments d'autorité:
Gödel a dit, Connes a dit,Étienne Klein à dit ...
Et vous, minushabens, pouvez vous justifier vos dires ?

[invite9dc7b526]

Arguments d'autorité:
Gödel a dit, Connes a dit,Étienne Klein à dit ...
Et vous, minushabens, pouvez vous justifier vos dires ?

Pour ce qui est de Gödel, il faut lire le texte d'une conférence qu'il a donnée où il expose et commente la pensée de Carnap (je n'ai pas la référence en tête mais on doit pouvoir la trouver).
Pour ce qui est de Connes, j'ai (mal) cité de mémoire un livre coécrit avec Jean-Pierre Changeux: "matière à penser".
Pour Klein je ne sais pas, je ne pense pas en avoir parlé.

Et je ne vois pas en quoi évoquer les idées de G, C ou K ou de qui que ce soit constitue un argument d'autorité.

[invite23cdddab]

Et je ne vois pas en quoi évoquer les idées de G, C ou K ou de qui que ce soit constitue un argument d'autorité.

C'est de dire "comme Gödel à dit que, c'est vrai" qui est un argument d'autorité, pas d'évoquer leurs idées

[Médiat]

Plus je lis Connes et plus j'aime Lichnerowicz.

A tout hasard, pour la partie honnête de l'auditoire, les exemples (qu'ils prétends démonstratifs) de Connes sont pris exclusivement dans le cadre de l'arithmétique (il le précise), théorie qui possède un modèle premier (j'ai déjà expliqué plusieurs fois que ce point, à mes yeux, rendait défendable l'usage de "vrai", même si on pourrait lever toute sommation philosophique et le précisant, ce qui en dit long sur ceux qui, sciemment, ne le font pas)

PS : Je suis bien d'accord avec karlp, il y a dans son texte beaucoup de malhonnêteté (ou de maladresse).

[Médiat]

Je re-précise quelques points : on peut croire que les objets mathématiques ont une existence préalable à l'énoncé des concepts (Platonicien), on peut croire que les objets mathématiques n'ont pas d'existence préalable à l'énoncé des concepts (anti-platonicien, je ne connais aucun mathématicien ayant cette position, il en existe sans doute quand même), et puis on peut être "sans opinion" ou laïc, sur le sujet (c'est mon cas), ce que je trouve dommage, voire dommageable, c'est que certains (Connes, par exemple) veuillent imposer leur croyance, alors qu'elle devrait rester du domaine privé (hors du domaine mathématiques en tout cas).

On peut s'exprimer de plusieurs façons différentes, par exemple:

1) Il existera toujours des énoncés vrais, mais non démontrables dans AP ni dans ses extension récursives.
2) Il existera toujours des énoncés vrais, mais non démontrables dans toutes théories vérifiant les conditions du théorème d'incomplétude de Gödel.
3) Il existera toujours dans le modèle premier (ou standard) de AP des énoncés vrais mais non démontrables dans AP ni dans ses extension récursives.
4) Il existe des énoncés vrais dans le modèle premier (ou standard) de AP, mais non démontrables dans AP ni dans ses extension récursives.
5) Il existe des énoncés indécidables dans toutes théories vérifiant les conditions du théorème d'incomplétude de Gödel.

La phrase 1) est compréhensible : "vrai" veut dire ici "vrai dans le modèle premier (ou standard) de AP", mais indique clairement que le locuteur est platonicien, or être platonicien est une position philosophique, pas mathématique (la preuve : platonicien ou non, les mathématiciens utilisent les mêmes règles d'inférence (*), les mêmes axiomes, et démontrent les mêmes théorèmes), et je ne vois pas pourquoi, dans un article de mathématiques, un mathématicien devrait m'imposer ses positions philosophiques
La phrase 2) est incompréhensible, que l'on soit platonicien ou non, puisque, contrairement à AP toutes les théories n'ont pas un modèle privilégié auquel on peut faire référence, par défaut.(**)
La phrase 3) est compréhensible par tout le monde, n'indique aucune position philosophique du locuteur et ne contrevient à aucune philosophie (un platonicien peut dire cette phrase sans renier sa philosophie)
La phrase 4) est ... une erreur.
La phrase 5) est compréhensible par tout le monde, n'indique aucune position philosophique du locuteur et ne contrevient à aucune philosophie (un platonicien peut dire cette phrase sans renier sa philosophie)

(*) Ce qui n'est pas le cas de l'intuitionnisme qui n'est donc pas uniquement une position philosophique, d'ailleurs on peut très bien faire des mathématiques intuitionnistes sans être philosophiquement intuitionniste.
(**) Il est facile d'écrire une extension récursive de AP, dont le modèle standard de AP n'est pas un modèle.

[karlp]

Très cher Médiat, je dois surmonter la honte que devrait m'inspirer mon ignorance (un moment de honte est bien plus bref que la durée de l'ignorance ) pour vous demander de m'aider à distinguer les énoncés 3) et 4)

1) Il existera toujours des énoncés vrais, mais non démontrables dans AP ni dans ses extension récursives.
2) Il existera toujours des énoncés vrais, mais non démontrables dans toutes théories vérifiant les conditions du théorème d'incomplétude de Gödel.
3) Il existera toujours dans le modèle premier (ou standard) de AP des énoncés vrais mais non démontrables dans AP ni dans ses extension récursives.
4) Il existe des énoncés vrais dans le modèle premier (ou standard) de AP, mais non démontrables dans AP ni dans ses extension récursives.
5) Il existe des énoncés indécidables dans toutes théories vérifiant les conditions du théorème d'incomplétude de Gödel.

.

En vous remerciant d'avance

[karlp]

Je crois que j'ai compris !

Je dois distinguer "il existe un énoncé vrai dans AP" et "il existe dans AP, un énoncé vrai "(sous entendu "par ailleurs" ?

Est-ce bien cela ?

[Médiat]

Je savais bien que je pouvais compter sur vous

En vous remerciant d'avance

C'est moi qui vous remercie de me donner l'opportunité d'expliciter ce point (que l'on peut voir comme un problème de quantificateurs).

La phrase 3 exprime que quelque soit les extensions récursives de que je pourrais construire, il restera des propositions indécidables vraies dans le modèle standard de .

La phrase 4 exprime qu'il existe des énoncés vrais dans le modèle standard, disons qui ne seraient prouvables dans aucune extension récursive de , alors que , j'ai donc trouvé une extension récursive de AP qui démontre .

Amicalement

[EDIT]Vous avez été plus rapide que moi

[karlp]

Merci infiniment !!
(il va me falloir la journée pour bien assimiler les subtiles nuances que seul le langage formalisé permet d'exprimer sans équivoque )

[invitea5cf685d]

Ah c'est intéressant j'ai un peu le sentiment que la "vraie" nature des tensions relève d'une opposition formalistes - structuralistes avec visiblement une emprise de cette dernière ici

Personnellement la seule chose que je sais c'est que ne pas se poser la question est suspect et je ne prétends pas avoir la réponse sur l'essence des maths

Ce qui serait malhonnête, c'est étaler une conviction comme une certitude ou justement ne pas dire le fonds de sa pensée pour du politiquement correct

Connes donne des exemples précis concernant des propo vraies non demontrables necessitant de sortir de l'arithmétique de peano mais utilise aussi le terme de pari quand il evoque la réalité ontologique des mathematiques

Je vous le dis comme je le pense je trouve que son illustration d'une mauvaise digestion de Godel par une vision très dogmatique des structuralistes est assez illustré par la difficulté de nos échanges

dans le même temps, je comprends que la raison basée sur la démonstration s'interroge sur les motivations de scientifiques qui font des "ponts" a priori bizarres d'hawking a Trinh xuan Thuan en passant par Connes pourquoi pas...

Il n'empêche qu'il ne faut pas confondre debat mathematique et extrapolation spirituelle ou philosophique et tant qu'einstein avait une conception basée sur ses experiences de pensées non demontrées, certaines vérités de RG restaient inaccessibles..

Entre thèse raisonnable, hypothèse et sciences fiction il y a un pas qui mérite de faire un tri raisonné
Et cela n'autorise pas plus les erreurs

[invitea5cf685d]

Pour karl regarde les travaux de connes sur sa géométrie non commutative
Il est quand même clair et archi clair qu'après avoir avancé sur la base d'expérimentations et d'observations, je constate un retournement ou ce sont les modeles mathematiques qui predisent l'existence de particules ou de phénomènes physiques

A ce stade on peut ne pas savoir quel est ce lien entre physique et mathematiques mais il serait anormal de ne pas s'interroger sur cette déraisonnable efficacité des mathematiques

Connes est mathematicien et voit le continu emerger du discret et le temps emerger de sa géométrie

Il y a matière à comprendre son point de vue il se base pas sur un gourou africain non plus
C'est entendable

D'autant qu'il la conceptualise, lui, sa géométrie
Maintenant il dit pas non plus qu'il a raison mais bon malhonnête non tu n'as pas le droit d'écrire ça je trouve

[invitea5cf685d]

Vous êtes sûr que votre question est pour minushabens ?

[invitea5cf685d]

Bonjour à tous

Pour schrodies-cat, pas de souci
Je te réponds puisque cet argument d'autorité me concerne

De mon point de vue, l'argument d'autorité vise à imposer un point de vue et à clôturer le débat en citant comme incontestable le point de vue référent sur le motif du caractère incontestable de la personne
L'argument est ad hominem

Hors, je pratique l'inverse...
Je cite une opinion visiblement contraire à une vision très orientée ici en invitant à ouvrir le débat
Je l'ai déjà écrit, ce qui est légitime, c'est ce débat et non la conclusion du débat déjà jugé par un tribunal

D'ailleurs,..., cette suspicion de malhonnêteté de Connes visiblement partagée...
Elle raisonne comme une sentence de tribunal devant le caractère délictueux du prévenu connes
Mais je vous invite à sortir de la casquette du juge qui demande des justifications pour adopter la casquette du scientifique qui pèse les faits
Etre malhonnête implique que connes aurait une vision personnelle des mathematiques, mais qu'il en ferait part d'une autre
On peut imaginer cela de certains scientifiques qui voudraient faire un succès littéraire en injectant de l'ésotérisme dans leur propos uniquement pour vendre
Ça, ce serait malhonnête

Et justement, Connes a la démarche inverse
Il a la notoriété, la légitimité, il ne fait pas de carrière politique et n'est pas obligé de prostituer ses idées
Il dit Honnêtement ce qu'il pense..,

Et c'est vous, qui, ne trouvant pas dans les pièces à conviction trace des votres, appliquez la sentence de malhonnêteté pour rester conforme à vos deductions au sein de votre systeme formel de tribunal

Si connes est le prévenu judiciaire, vous êtes prévenus en retour de sa position

Il existe des vérités qui échappent aux pièces à conviction du tribunal....

Et cette vérité est qu'il est profondément honnête
Je ne dis pas qu'il a raison sur cette vision des mathematiques mais concernant son appréciation de Godel et l'image du tribunal, cet echange et votre verdict est une belle illustration de sa démonstration

Je dis cela avec amitié vous savez je ne suis pas un "guerriers" et vos avis, je les trouve trop tranchés pour être vrais mais je ne doute pas de votre honnêteté

[invite82078308]

Bonjour à tous (...)
D'ailleurs,..., cette suspicion de malhonnêteté de Connes visiblement partagée...
Elle raisonne comme une sentence de tribunal devant le caractère délictueux du prévenu connes
Mais je vous invite à sortir de la casquette du juge qui demande des justifications pour adopter la casquette du scientifique qui pèse les faits
Être malhonnête implique que connes aurait une vision personnelle des mathématiques, mais qu'il en ferait part d'une autre
On peut imaginer cela de certains scientifiques qui voudraient faire un succès littéraire en injectant de l'ésotérisme dans leur propos uniquement pour vendre
Ça, ce serait malhonnête
(...)

Boujour ! (avec un peu de retard)
Je n'ai jamais soupçonné de Alain Connes, pas plus qu’Étienne Klein ou d'autres de malhonnêteté.
J'ai quand même assez de logique (commune) pour ne pas confondre mensonge et contrevérité.
Je n’ai aucun doute sur le fait qu'ils sont convaincus de ce qu'ils disent.
Mais on a le droit de critiquer ces propos.
Il faut noter qu'ils s'expriment sur un domaine qui n'est pas le leur, ce qui ne signifie pas que leurs propos sont inintéressants, mais il faut les prendre avec précaution.

En ce qui concerne Kurt Gödel, il a fait et publié des démonstrations très formaliste de ses théorèmes d'incomplétude, mais il est possible qu'il en ait fait par ailleurs des interprétations un peu moins rigoureuses.

[invitea5cf685d]

Je vous propose la démonstrattion 'simplifiée' de Godel par Hofstatder.

Dites moi déjà si vous êtes Ok la dessus :

Tout système formel qui atteint le seuil d'universalité au sens de Gödel est
essentiellement syntaxiquement incomplet.
Personne ne sait où se situe exactement ce seuil mais le fait est que l'arithmétique de Robinson l'atteint alors que celle de Pressburger ne l'atteint pas. Tout ce qu’on pourrait faire, pour en savoir plus à ce sujet, c’est essayer de faire disparaître l'universalité en simplifiant l’axiomatique de Robinson ou de la faire apparaître en
complexifiant celle de Pressburger.

Vu l'infinité des variantes axiomatiques possibles, il y a peu de chance que ce travail d'encadrements successifs connaisse jamais une fin. Le premier théorème d’incomplétude de Gödel (1931) peut s'énoncer comme suit :
« Il n'existe pas d'extension syntaxiquement complète et cohérente de l'arithmétique de
Robinson".

La démonstration rigoureuse que Gödel a donnée du premier théorème est complexe
du fait qu'elle veut être constructive en mettant en évidence une proposition indécidable de la
théorie. Nous nous contenterons d'une approche intuitive, due pour l'essentiel à Hofstader,
qui suffit à suivre la démarche intellectuelle.

Le point de départ de la démonstration est la proposition auto-référentielle, p, formulée dans Σ :
p : "Je ne suis pas prouvable dans Σ".
Voici, en gros, comment Gödel a arithmétisé cette proposition. L'idée maîtresse est de
transcrire l'énoncé, p, dans la forme équivalente,
p : "Il n'existe pas de couple, {p,D}, tel que D soit une démonstration de p au sein de Σ".
On procède en plusieurs étapes.

1) Codage des propositions.
Il existe une infinité de manières de coder une assertion par un entier, la seule exigence étant
que toute assertion bien formée possède un code et un seul. Par contre, on tolère que certains
codes ne correspondent à aucune assertion. Gödel utilisait un codage "savant" basé sur la
décomposition des entiers selon leurs facteurs premiers mais le codage "naïf" suivant, dû à
Hofstader, convient tout aussi bien. On commence par associer un entier à deux chiffres à
chaque symbole alphabétique du système formel en évitant le zéro. Optons pour le choix
arbitraire suivant :
0 ↔ 69 S ↔ 12 = ↔ 11 + ↔ 17 × ↔ 71
( ↔ 66 ) ↔ 99 [ ↔ 51 ] ↔ 15 a ↔ 88
' ↔ 18 ⇒ ↔ 19 ∀ ↔ 44 ∃ ↔ 33 : ↔ 55
∨ ↔ 41 ∧ ↔ 14 ¬ ↔ 96 < ↔ 24 ; ↔ 42

Le nombre de Gödel (G-code) d'un énoncé s'obtient par traduction littérale des symboles qui
le composent, lus dans l'ordre naturel, de gauche à droite. Par exemple, la proposition fermée,
∀a :¬Sa = 0 , qui est un axiome de l'arithmétique de Robinson possède le G-code, c =
4488559612881169 soit en résumé :
32
∀a : ¬Sa = 0 ↔ c = 4488559612881169 = S44885596128811690,
où la notation indicée signifie qu'on répète 4488559612881169 fois le symbole "successeur ",
S. Cette proposition est évidemment valide puisque c'est un axiome et qu'on attend d'un
axiome qu'il soit vrai dans tout modèle.

2) Définition de la fonction primitive récursive "autosub".
Considérons à présent cet autre exemple, la proposition ouverte, a = S0 , qui porte sur la
variable libre, a. Elle possède elle aussi son code, c :
a = S0 ↔ c = 88111269 = S881112690.
Du fait de la présence d'une variable libre, la validité de cette proposition dépend de la valeur
particulière de a mais cela n'a pas d'importance pour la suite. Une valeur particulière de a va
nous intéresser, précisément celle qui correspond au numéral du code de la proposition qui
précède. Cela donne l'énoncé particulier suivant dont le code de Gödel, c', est à son tour
évalué :
S S0 881112690 = ↔ c' = 1288111269111269.
L'opération qui consiste à remplacer la variable libre par le numéral du code de la proposition
qui l'héberge porte des noms variés dans la littérature. Nous convenons de noter,
c'= autosub[c] , la fonction qui calcule, c', à partir de la donnée, c.
Cette fonction est primitive récursive puisqu'elle est facilement programmable dans n'importe
quel langage primitif récursif : il suffit de traduire pas à pas l'argument informel que nous
avons développé sur l'exemple choisi au hasard et d'observer qu'aucune instruction DoWhile
n'a été utilisée.

3) Codage des preuves.
Pour développer l'argument de Gödel, nous avons encore besoin d'une autre fonction,
également primitive récursive, m = preuve[n] , qui calcule le code de Gödel de la première
preuve du théorème de code, n, qui se présente lorsqu'on déroule l'ensemble des preuves dans
l'ordre canonique.

4) Une étrange proposition.
Considérons à présent la (méta) proposition suivante, contenant la variable libre, a' :
¬(∃a'': a''= preuve[autosub[a']])
En toute rigueur cette proposition sort du domaine d'expression du système formel lorsqu'il utilise les raccourcis
commodes que constituent les fonctions, preuve et autosub. La démonstration de Gödel ne s'autorise pas ce
genre d'écart car elle désire s'exprimer dans le langage du système. Le prix payé est un développement
nettement moins transparent.
Que signifie cette proposition? Qu'il n'existe pas de code de preuve donc de preuve pour
l'assertion dont le code résulterait du remplacement de la variable libre présente dans la
33
proposition de code, a', par cette valeur, a'. Il n'y a rien de particulièrement choquant làdedans
simplement il se peut qu'elle soit vraie pour certaines valeurs de a' et fausse pour
d'autres valeurs. En fait, une seule valeur de a' va nous intéresser, celle qui vaut le numéral
associé à son code car dans ce cas particulier on aboutit à un résultat étonnant. Cela revient à
calculer le code suivant :
G = autosub[code[¬(∃a'': a''= preuve[autosub[a']])]]
C'est le code d'une proposition qui affirme qu'elle n'est pas prouvable dans Σ :
G = "Je ne suis pas prouvable dans Σ" !

Si le système formel dans lequel on travaille est cohérent, il est exclu que G et non-G soient
simultanément prouvables. G ne peut pas être prouvable car cela signifierait qu'elle est fausse
et néanmoins prouvable ce que personne n'est prêt à accepter. Il ne reste que le cas où G n'est
pas prouvable tout en étant vraie! C'est donc un indécidable de ce système formel.
L'argument est immédiatement transposable à tout système formel qui permet
l'implémentation des fonctions primitives récursives, preuve et autosub.
Une précision est utile à ce stade : le premier théorème d'incomplétude ne se contente
pas d'affirmer que l'arithmétique de Robinson ou celle de Peano contient des indécidables, ce
serait vraiment trop banal. Il va beaucoup plus loin en affirmant que la théorie est
essentiellement syntaxiquement incomplète c'est-à-dire impossible à compléter par ajouts
successifs d'axiomes.

Après chaque ajout, on se retrouve avec un système un peu moins
incomplet certes mais au sujet duquel l'argument conçu par Gödel s'applique à nouveau.

Le programme d'Hilbert de croire en l'existence d'un système formel définitivement
syntaxiquement complet est donc une utopie car, au-delà du seuil d'universalité Gödélienne,
on a beau ajouter sans cesse de nouveaux axiomes, l'incomplétude syntaxique subsiste.

[Médiat]

Il va beaucoup plus loin en affirmant que la théorie est essentiellement syntaxiquement incomplète c'est-à-dire impossible à compléter par ajouts successifs d'axiomes.

Soit on le fait [Ajouter un énoncé indécidable E aux axiomes d'une théorie T] d'une manière non algorithmique (par exemple en ajoutant l'indécidable le plus court à l'étape n), [...] la « théorie » T∞ obtenue n'a plus d'indécidables (c'est le cas avec la méthode de « l'indécidable le plus court »)

Cette impossibilité de compléter AP en lui ajoutant des axiomes n’est cependant pas absolue. Croire en un tel absolu, conduit à des interprétations fausses des théorèmes d’incomplétude, par exemple celle affirmant que la vérité mathématique est incomplète, alors que ce sont nos moyens formels d’y accéder qui sont inadaptés.

Cherchez l'erreur (Delahaye et Levin disent la même chose, et c'est aussi ce que je répète pratiquement à chaque fois que ce théorème est évoqué)!

[invitea5cf685d]

Cherchez l'erreur (Delahaye et Levin disent la même chose, et c'est aussi ce que je répète pratiquement à chaque fois que ce théorème est évoqué)!

Excusez moi médiat mais je pense que vous évoquez une contradiction avec Hofstatder par vos 2 citations sauf erreur de ma part...

Ce que vous exprimez par vos deux citations, c'est quelque chose de banal concernant les théories INCOMPLETES au sens où il n'y a pas assez d'axiomes pour exprimer les énoncés.
En ajoutant des axiomes, on peut même espérer compléter une théorie et c'est sans doute le contexte de vos deux citations.

Le souci que vous switchez avec Godel, c'est qu'ajouter des axiomes pour compléter (définitivement) l'ensemble de la théorie N'EST PAS POSSIBLE pour l'arithmétique et les théories qui intègrent l'arithmétique tant que la liste des axiomes est récursivement énumérable et donc tant qu'on peut la décrire explicitement.
Une théorie récursivement axiomatisable, non contradictoire, capable de représenter l'arithmétique de Peano est FORCEMENT incomplète et contient donc forcément toujours au moins un énoncé indécidable (en pratique de plus en plus !)

Je suis bien évidemment d'accord pour dire que les théorèmes de Godel sont exempt de notion de vérité comme de sémantique au sens large, mais êtes vous au moins OK la dessus ?
J'ai comme l'impression que non et bon...je voudrais juste m'assurer de notre point de départ.

[invitea5cf685d]

Eventuellement, pourriez vous svp et je sais que j'en demande beaucoup mais bon... pourriez vous svp avec vos mots tenter de faire une phrase concernant chacun des deux théorèmes qui en extraient votre interprétation ?

Merci par avance Mediat, sincèrement, j'ai besoin de vous comprendre.

Ne me dites pas que ces théorèmes ont eu cet écho extraordinaire dans la logique pour ne pas qu'on puisse en extraire le sens principal par des mots.
Si c'est le cas, les bras m'en tombent....

[invite82078308]

Pour ma part j'aurais tendance à me placer une théorie dans laquelle on peut définir la calculabilité au sens de Turing (ou toute autre définition équivalente), ce qui revient il me semble au même même si il faudrait préciser cela.

Pour en revenir à la polémique qui nous occupe depuis un certain temps, Pazuzen, vous introduisez les mots vrais et faux dans votre discours sans qu'ils aient été définis.
Médiat refuse d'utiliser le mot "vrai" tel quel, ne disant pas "p est vraie" mais plutôt" par exemple "p est vraie dans le modèle M".
Pour ma part, quand je veux être rigoureux, je ne dis pas "p est vraie" on "p est fausse" mais simplement j'affirme "p" , ou j'affirme "non p".
Dans l'usage courant des mathématiques, cela ne pose guère de problème en général, mais en logique mathématique, il y a un moment ou il faut mettre les choses au propre.

Dans cette discussion, qui a couru sur plusieurs fils au grès des fermetures vous avez reproché à Médiat de ne pas définir sa notion de "vrai".
C'est vous qui utilisez cette notion, et donc c'est à vous de le définir.

[Médiat]

Dans l'usage courant des mathématiques, cela ne pose guère de problème en général, mais en logique mathématique, il y a un moment ou il faut mettre les choses au propre.

Je suis, bien sûr, parfaitement d'accord avec ces deux points (je ne fais qu''enfoncer le clou), dans l'usage courant, un arithméticien parle de IN, pas des modèles non standard de AP, donc les choses sont claires dès le début.
Quant aux logiciens, dont je suis (pour ceux qui l'ignoreraient ), il va de soi, en particulier dans le cas du théorème d'incomplétude de Gödel qu'ils ne parlent pas ni d'une théorie particulière, ni d'un modèle particulier, d'où la nécessité de dire des choses claires.

Idéalement, on ne parlerait de prouvable que dans le cadre syntaxique et il paraît naturel de préciser à chaque fois la théorie (ça c'est bien le cas, en général) et de vrai que dans le cadre sémantique et il devrait être naturel de préciser à chaque fois dans quel(s) modèle(s), et malheureusement ce n'est pas toujours le cas.

[invitea5cf685d]

Pour ma part j'aurais tendance à me placer une théorie dans laquelle on peut définir la calculabilité au sens de Turing (ou toute autre définition équivalente), ce qui revient il me semble au même même si il faudrait préciser cela..

On a eu la preuve de la généralité de la méthode de Godel par les résultats d'équivalence de tous les systèmes formels de la calculabilité (turing et kleene )
La thèse de Church propose l'invariance mathématique de toutes les notions de calculabilité et de la notion de déduction effective.

[Médiat]

Vous déformez en permanence mes propos : donc je ne vous réponds plus !

[invitea5cf685d]

G : Cette assertion de la théorie des nombres n'est pas démontrable dans les principia mathematica

Cette phrase G de Godel n'est, par ailleurs, pas le théorème de Godel, pas plus que le phrase d'Epimenide n'est l'observation de "la phrase d'Epimenide est un paradoxe"
Nous pouvons maintenant mesurer l'effet de la découverte de G, car si l'assertion d'Epimenide crée un paradoxe parce qu'elle n'est ni vraie ni fausse, la phrase G de Godel est improuvable (à l'intérieur des PM) mais vraie.
Conclusion ? Le système des principia mathématica est "incomplet" : il existe des assertions vraies de la théorie des nombres que ses méthodes de démonstration ne permettent pas de prouver.
En bref, Godel a montré que, quel que soit le système axiomatique considéré, une assertion vraie n'est pas forcément démontrable

Douglas Hofstatder

Je ne le déformerai pas plus que Connes, pas plus que Futura mathématiques, pas plus que les anglo saxons pas plus que vous
Mais il ne dit pas pareil que vous.