Vous evoquez le koan, les croyances et la malhonnêteté de connes
Je vous parle des deux theoreme d'incompletude de Godel...
Quand je link une demo de polytechnique contraire a une affirmation fausse, ça raisonne comme un verset biblique
On est sur un forum scientifique ou pas ?
Bonjour très cher MédiatEnvoyé par Médiat
C'est votre phrase qui m'a inspiré la reformulation que j'ai proposée dans l'espoir que pazuzen en comprenne l'une des deux. Je ne désespère pas, mais je sais que les enjeux que le sujet représentent pour lui constituent un barrage très puissant.
En témoigne le message qui fait suite au vôtre (ci dessus) et qui renverse les faits : @pazuzen, le passage que vous citez à l'appui de vos dires conforte en réalité les nôtres. Cela produit un effet étrange dont je ne dois pas être le seul à en être déconcerté (vous donnez vraiment l'impression de vous contredire et de déformer nos propos, même si je pense que ce n'est pas volontaire de votre part).
Je suis tenté de penser qu'il s'agit d'un effet d'un "glissement de la négation" semblable à celui que nous avons pointé plus haut.
Une petite précision : le document issu de polytechnique (que je n'ai pas entièrement lu, je l'admets) me force à faire deux remarques :
1) Le titre "xxx. Incomplétude de la logique du premier ordre." aurait fait hurler Gödel qui a démontré, au contraire, la complétude de la logique du premier ordre.
2) Je veux bien mettre l'erreur ci-dessus sur le compte d'une "faute de frappe" dans la mesure ou la page 44, par exemple est une expression parfaite du théorème d'incomplétude de Gödel restreint à AP (ce qui est le but affiché de l'auteur, donc ce n'est pas un reproche). Cette formulation correspond à ma phrase 3) du message #55.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Très cher Médiat, je dois surmonter la honte que devrait m'inspirer mon ignorance (un moment de honte est bien plus bref que la durée de l'ignorance) pour vous demander de m'aider à distinguer les énoncés 3) et 4)
En vous remerciant d'avance
Je viens de lire ce document (jusqu'à la page 44), globalement c'est un bon document, en particulier la page 37, puisqu'il exprime ce que j'ai répété inutilement de très nombreuses fois ici : identité entre S1 et S2 du message #15 (point contesté par pazuzen, qui n'est donc pas d'accord avec les documents qu'il considère comme des références).
Par contre, la page 40 me plait moins :
Ce n'est qu'une moitié du théorème de Löwenheim-Skolem (mais ce choix est peut-être justifié par l'audience ciblée), et le mot dénombrable est parfois (dans la littérature) utilisé avec le sens " de cardinal égale àSi une théorie sur une signature dénombrable possède un modèle, alors elle possède un modèle dont l'ensemble de base est dénombrable.", et parfois dans le sens "de cardinal inférieur ou égal à
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je crois que j'ai compris !
Je dois distinguer "il existe un énoncé vrai dans AP" et "il existe dans AP, un énoncé vrai "(sous entendu "par ailleurs" ?
Est-ce bien cela ?
Je savais bien que je pouvais compter sur vous
C'est moi qui vous remercie de me donner l'opportunité d'expliciter ce point (que l'on peut voir comme un problème de quantificateurs).
La phrase 3 exprime que quelque soit les extensions récursives de
La phrase 4 exprime qu'il existe des énoncés vrais dans le modèle standard, disons
Amicalement
[EDIT]Vous avez été plus rapide que moi
Dernière modification par Médiat ; 24/03/2016 à 10h13.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Merci infiniment !!
(il va me falloir la journée pour bien assimiler les subtiles nuances que seul le langage formalisé permet d'exprimer sans équivoque)
Je pense donc utile de solliciter d'urgence sur la base de ces démonstrations formelles considérées ici, sur ce forum et en vase clos comme logiquement universelles la modification des mots utilisés sur le site grand public futura mathématiques qui héberge le forum pour éviter a minima le paradoxe de deux formulations contradictoires :
http://www.futura-sciences.com/magaz...e-godel-13701/
Le grand mathématicien David Hilbert, qui avait été à l'origine de ce problème, l'espérait. Mais Gödel mit fin à cet espoir en démontrant que tout système axiomatique permettant de faire de l'arithmétique devait contenir des propositions qui ne pouvaient être démontées, ou réfutées, en utilisant le système axiomatique en question. Si l'on décidait qu'une de ces propositions était un autre axiome, on aurait un nouveau système, mais qui contiendrait lui aussi des propositions dont la vérité ou la fausseté sont indécidables. Paradoxalement, on sait que certaines de ces propositions indécidables sont vraies, mais on ne peut le démontrer. C'est souvent en ces termes que l'on parle « du » théorème d'incomplétude de Gödel, mais il s'agit en fait de son premier théorème d'incomplétude.
Boujour ! (avec un peu de retard)
Je n'ai jamais soupçonné de Alain Connes, pas plus qu’Étienne Klein ou d'autres de malhonnêteté.
J'ai quand même assez de logique (commune) pour ne pas confondre mensonge et contrevérité.
Je n’ai aucun doute sur le fait qu'ils sont convaincus de ce qu'ils disent.
Mais on a le droit de critiquer ces propos.
Il faut noter qu'ils s'expriment sur un domaine qui n'est pas le leur, ce qui ne signifie pas que leurs propos sont inintéressants, mais il faut les prendre avec précaution.
En ce qui concerne Kurt Gödel, il a fait et publié des démonstrations très formaliste de ses théorèmes d'incomplétude, mais il est possible qu'il en ait fait par ailleurs des interprétations un peu moins rigoureuses.
Je vous propose la démonstrattion 'simplifiée' de Godel par Hofstatder.
Dites moi déjà si vous êtes Ok la dessus :
Tout système formel qui atteint le seuil d'universalité au sens de Gödel est
essentiellement syntaxiquement incomplet.
Personne ne sait où se situe exactement ce seuil mais le fait est que l'arithmétique de Robinson l'atteint alors que celle de Pressburger ne l'atteint pas. Tout ce qu’on pourrait faire, pour en savoir plus à ce sujet, c’est essayer de faire disparaître l'universalité en simplifiant l’axiomatique de Robinson ou de la faire apparaître en
complexifiant celle de Pressburger.
Vu l'infinité des variantes axiomatiques possibles, il y a peu de chance que ce travail d'encadrements successifs connaisse jamais une fin. Le premier théorème d’incomplétude de Gödel (1931) peut s'énoncer comme suit :
« Il n'existe pas d'extension syntaxiquement complète et cohérente de l'arithmétique de
Robinson".
La démonstration rigoureuse que Gödel a donnée du premier théorème est complexe
du fait qu'elle veut être constructive en mettant en évidence une proposition indécidable de la
théorie. Nous nous contenterons d'une approche intuitive, due pour l'essentiel à Hofstader,
qui suffit à suivre la démarche intellectuelle.
Le point de départ de la démonstration est la proposition auto-référentielle, p, formulée dans Σ :
p : "Je ne suis pas prouvable dans Σ".
Voici, en gros, comment Gödel a arithmétisé cette proposition. L'idée maîtresse est de
transcrire l'énoncé, p, dans la forme équivalente,
p : "Il n'existe pas de couple, {p,D}, tel que D soit une démonstration de p au sein de Σ".
On procède en plusieurs étapes.
1) Codage des propositions.
Il existe une infinité de manières de coder une assertion par un entier, la seule exigence étant
que toute assertion bien formée possède un code et un seul. Par contre, on tolère que certains
codes ne correspondent à aucune assertion. Gödel utilisait un codage "savant" basé sur la
décomposition des entiers selon leurs facteurs premiers mais le codage "naïf" suivant, dû à
Hofstader, convient tout aussi bien. On commence par associer un entier à deux chiffres à
chaque symbole alphabétique du système formel en évitant le zéro. Optons pour le choix
arbitraire suivant :
0 ↔ 69 S ↔ 12 = ↔ 11 + ↔ 17 × ↔ 71
( ↔ 66 ) ↔ 99 [ ↔ 51 ] ↔ 15 a ↔ 88
' ↔ 18 ⇒ ↔ 19 ∀ ↔ 44 ∃ ↔ 33 : ↔ 55
∨ ↔ 41 ∧ ↔ 14 ¬ ↔ 96 < ↔ 24 ; ↔ 42
Le nombre de Gödel (G-code) d'un énoncé s'obtient par traduction littérale des symboles qui
le composent, lus dans l'ordre naturel, de gauche à droite. Par exemple, la proposition fermée,
∀a :¬Sa = 0 , qui est un axiome de l'arithmétique de Robinson possède le G-code, c =
4488559612881169 soit en résumé :
32
∀a : ¬Sa = 0 ↔ c = 4488559612881169 = S44885596128811690,
où la notation indicée signifie qu'on répète 4488559612881169 fois le symbole "successeur ",
S. Cette proposition est évidemment valide puisque c'est un axiome et qu'on attend d'un
axiome qu'il soit vrai dans tout modèle.
2) Définition de la fonction primitive récursive "autosub".
Considérons à présent cet autre exemple, la proposition ouverte, a = S0 , qui porte sur la
variable libre, a. Elle possède elle aussi son code, c :
a = S0 ↔ c = 88111269 = S881112690.
Du fait de la présence d'une variable libre, la validité de cette proposition dépend de la valeur
particulière de a mais cela n'a pas d'importance pour la suite. Une valeur particulière de a va
nous intéresser, précisément celle qui correspond au numéral du code de la proposition qui
précède. Cela donne l'énoncé particulier suivant dont le code de Gödel, c', est à son tour
évalué :
S S0 881112690 = ↔ c' = 1288111269111269.
L'opération qui consiste à remplacer la variable libre par le numéral du code de la proposition
qui l'héberge porte des noms variés dans la littérature. Nous convenons de noter,
c'= autosub[c] , la fonction qui calcule, c', à partir de la donnée, c.
Cette fonction est primitive récursive puisqu'elle est facilement programmable dans n'importe
quel langage primitif récursif : il suffit de traduire pas à pas l'argument informel que nous
avons développé sur l'exemple choisi au hasard et d'observer qu'aucune instruction DoWhile
n'a été utilisée.
3) Codage des preuves.
Pour développer l'argument de Gödel, nous avons encore besoin d'une autre fonction,
également primitive récursive, m = preuve[n] , qui calcule le code de Gödel de la première
preuve du théorème de code, n, qui se présente lorsqu'on déroule l'ensemble des preuves dans
l'ordre canonique.
4) Une étrange proposition.
Considérons à présent la (méta) proposition suivante, contenant la variable libre, a' :
¬(∃a'': a''= preuve[autosub[a']])
En toute rigueur cette proposition sort du domaine d'expression du système formel lorsqu'il utilise les raccourcis
commodes que constituent les fonctions, preuve et autosub. La démonstration de Gödel ne s'autorise pas ce
genre d'écart car elle désire s'exprimer dans le langage du système. Le prix payé est un développement
nettement moins transparent.
Que signifie cette proposition? Qu'il n'existe pas de code de preuve donc de preuve pour
l'assertion dont le code résulterait du remplacement de la variable libre présente dans la
33
proposition de code, a', par cette valeur, a'. Il n'y a rien de particulièrement choquant làdedans
simplement il se peut qu'elle soit vraie pour certaines valeurs de a' et fausse pour
d'autres valeurs. En fait, une seule valeur de a' va nous intéresser, celle qui vaut le numéral
associé à son code car dans ce cas particulier on aboutit à un résultat étonnant. Cela revient à
calculer le code suivant :
G = autosub[code[¬(∃a'': a''= preuve[autosub[a']])]]
C'est le code d'une proposition qui affirme qu'elle n'est pas prouvable dans Σ :
G = "Je ne suis pas prouvable dans Σ" !
Si le système formel dans lequel on travaille est cohérent, il est exclu que G et non-G soient
simultanément prouvables. G ne peut pas être prouvable car cela signifierait qu'elle est fausse
et néanmoins prouvable ce que personne n'est prêt à accepter. Il ne reste que le cas où G n'est
pas prouvable tout en étant vraie! C'est donc un indécidable de ce système formel.
L'argument est immédiatement transposable à tout système formel qui permet
l'implémentation des fonctions primitives récursives, preuve et autosub.
Une précision est utile à ce stade : le premier théorème d'incomplétude ne se contente
pas d'affirmer que l'arithmétique de Robinson ou celle de Peano contient des indécidables, ce
serait vraiment trop banal. Il va beaucoup plus loin en affirmant que la théorie est
essentiellement syntaxiquement incomplète c'est-à-dire impossible à compléter par ajouts
successifs d'axiomes.
Après chaque ajout, on se retrouve avec un système un peu moins
incomplet certes mais au sujet duquel l'argument conçu par Gödel s'applique à nouveau.
Le programme d'Hilbert de croire en l'existence d'un système formel définitivement
syntaxiquement complet est donc une utopie car, au-delà du seuil d'universalité Gödélienne,
on a beau ajouter sans cesse de nouveaux axiomes, l'incomplétude syntaxique subsiste.
Cherchez l'erreur (Delahaye et Levin disent la même chose, et c'est aussi ce que je répète pratiquement à chaque fois que ce théorème est évoqué)!
Dernière modification par Médiat ; 24/03/2016 à 15h38.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Pour ma part j'aurais tendance à me placer une théorie dans laquelle on peut définir la calculabilité au sens de Turing (ou toute autre définition équivalente), ce qui revient il me semble au même même si il faudrait préciser cela.
Pour en revenir à la polémique qui nous occupe depuis un certain temps, Pazuzen, vous introduisez les mots vrais et faux dans votre discours sans qu'ils aient été définis.
Médiat refuse d'utiliser le mot "vrai" tel quel, ne disant pas "p est vraie" mais plutôt" par exemple "p est vraie dans le modèle M".
Pour ma part, quand je veux être rigoureux, je ne dis pas "p est vraie" on "p est fausse" mais simplement j'affirme "p" , ou j'affirme "non p".
Dans l'usage courant des mathématiques, cela ne pose guère de problème en général, mais en logique mathématique, il y a un moment ou il faut mettre les choses au propre.
Dans cette discussion, qui a couru sur plusieurs fils au grès des fermetures vous avez reproché à Médiat de ne pas définir sa notion de "vrai".
C'est vous qui utilisez cette notion, et donc c'est à vous de le définir.
Je suis, bien sûr, parfaitement d'accord avec ces deux points (je ne fais qu''enfoncer le clou), dans l'usage courant, un arithméticien parle de IN, pas des modèles non standard de AP, donc les choses sont claires dès le début.
Quant aux logiciens, dont je suis (pour ceux qui l'ignoreraient
Idéalement, on ne parlerait de prouvable que dans le cadre syntaxique et il paraît naturel de préciser à chaque fois la théorie (ça c'est bien le cas, en général) et de vrai que dans le cadre sémantique et il devrait être naturel de préciser à chaque fois dans quel(s) modèle(s), et malheureusement ce n'est pas toujours le cas.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Excusez moi médiat mais je pense que vous évoquez une contradiction avec Hofstatder par vos 2 citations sauf erreur de ma part...
Ce que vous exprimez par vos deux citations, c'est quelque chose de banal concernant les théories INCOMPLETES au sens où il n'y a pas assez d'axiomes pour exprimer les énoncés.
En ajoutant des axiomes, on peut même espérer compléter une théorie et c'est sans doute le contexte de vos deux citations.
Le souci que vous switchez avec Godel, c'est qu'ajouter des axiomes pour compléter (définitivement) l'ensemble de la théorie N'EST PAS POSSIBLE pour l'arithmétique et les théories qui intègrent l'arithmétique tant que la liste des axiomes est récursivement énumérable et donc tant qu'on peut la décrire explicitement.
Une théorie récursivement axiomatisable, non contradictoire, capable de représenter l'arithmétique de Peano est FORCEMENT incomplète et contient donc forcément toujours au moins un énoncé indécidable (en pratique de plus en plus !)
Je suis bien évidemment d'accord pour dire que les théorèmes de Godel sont exempt de notion de vérité comme de sémantique au sens large, mais êtes vous au moins OK la dessus ?
J'ai comme l'impression que non et bon...je voudrais juste m'assurer de notre point de départ.
Eventuellement, pourriez vous svp et je sais que j'en demande beaucoup mais bon... pourriez vous svp avec vos mots tenter de faire une phrase concernant chacun des deux théorèmes qui en extraient votre interprétation ?
Merci par avance Mediat, sincèrement, j'ai besoin de vous comprendre.
Ne me dites pas que ces théorèmes ont eu cet écho extraordinaire dans la logique pour ne pas qu'on puisse en extraire le sens principal par des mots.
Si c'est le cas, les bras m'en tombent....
On a eu la preuve de la généralité de la méthode de Godel par les résultats d'équivalence de tous les systèmes formels de la calculabilité (turing et kleene )
La thèse de Church propose l'invariance mathématique de toutes les notions de calculabilité et de la notion de déduction effective.
Vous déformez en permanence mes propos : donc je ne vous réponds plus !
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
G : Cette assertion de la théorie des nombres n'est pas démontrable dans les principia mathematica
Cette phrase G de Godel n'est, par ailleurs, pas le théorème de Godel, pas plus que le phrase d'Epimenide n'est l'observation de "la phrase d'Epimenide est un paradoxe"
Nous pouvons maintenant mesurer l'effet de la découverte de G, car si l'assertion d'Epimenide crée un paradoxe parce qu'elle n'est ni vraie ni fausse, la phrase G de Godel est improuvable (à l'intérieur des PM) mais vraie.
Conclusion ? Le système des principia mathématica est "incomplet" : il existe des assertions vraies de la théorie des nombres que ses méthodes de démonstration ne permettent pas de prouver.
En bref, Godel a montré que, quel que soit le système axiomatique considéré, une assertion vraie n'est pas forcément démontrable
Douglas Hofstatder
Je ne le déformerai pas plus que Connes, pas plus que Futura mathématiques, pas plus que les anglo saxons pas plus que vous
Mais il ne dit pas pareil que vous.
Nous parlions de tribunal, d'assertions vraies non demontrables, d'anglosaxons, de difficultés à nous comprendre ?
J'ai trouvé la résolution de tous ces problèmes simultanément
Un peu d'humour pour nous détendre et bon visionnage
http://youtu.be/WylL1m4K6Bk
Bonjour à tous
Ce matin, réflexion personnelle
J'ai bien perçu sur 2 topics evoquant les theoremes d'incompletude que le débat que j'ai ouvert entre l'écart qui sépare connes, hofstatder, la formulation litterale anglo saxonne, les formulations les plus couramment employées sur la presentation de ce theoreme y compris sur ce site et la position dominante du forum dérangeait
Le motif invoqué étant ma "propension à déformer les propos"
Ce que je trouve étrange, c'est ce double paradoxe :
Le premier est qu'on puisse critiquer des formulations de ces théorèmes sans émettre une contre proposition de rédaction qu'on agrée qui devrait logiquement remplacée celle présumée fausse du site hebergeur
La seconde étant d'invoquer la complexité du formalisme tout en ouvrant sous forme rédactionnelle une presentation illustrée de ce theoreme comme si la formulation d'un exemple devenait plus importante que la formulation de la definition générale
Sur l'exemple même je passe à une critique qui part de ma perception ...
L'idée illustrée est de dire que, quels que soient les besoins du client, il est normal que le systeme formel ne retrouve pas certaines assertions non formalisées et, qu'il suffit de les ajouter dans l'aciomatique pour y répondre en laissant entendre que si l'ensemble de ces besoins étaient formellement exprimés, nous aurions toujours la possibilité de compléter le système
Cette idée me renvoie ce que ressentait poincaré dès 1908 a propos de la démarche systématiquement formaliste d'hilbert
C'est son analogie d'une machine à produire du theoreme à partir d'axiomes comme l'usine imaginaire de chicago où on fait entrer des cochons entiers pour en sortir des saucisses et je ne sais quel autre produit fini
Ça me renvoie à Connes pour qui les structuralistes n'ont pas digéré le theoreme de Godel
Je serais plus précis ici en disant que ma perception dans notre débat, c'est que si les theoremes d'incompletude sont perçus survendus c'est surtout qu'ils n'ont pas été compris
C'est ma perception...
D'une part, imaginez un systeme formel fait d'une infinité d'axiomes comme autant de propositions indecidable du systeme initial...
On se retrouve alors avec un systeme dogmatique absolu, chaque axiome se passant par definition d'une démonstration....
On se retrouve aussi et surtout avec un systeme dont il devient impossible de s'assurer de la consistance
Comment voulez vous qu'en ajoutant axiomes sur axiomes, ne se posent pas les problèmes d'autoreferentialité ?
Un tel systeme serait évidemment contradictoire ce qui n'est pas tolérable
Donc mon avis, c'est qu'ici, ce n'est pas le problème d'interprétation du theoreme qui pose souci, c'est sa portée mathematique
Aucun systeme cohérent integrant l'arithmétique de Peano ne peut-être consistant et complet...qu'on s'évertue à vouloir le completer comme Hilbert ou pas
Je propose humblement d'en prendre la mesure qui nécessite une illustration bien differente d'un systeme de production de pantalons qu'on complete progressivement en fonction de desiderata non exprimés initialement dans le systeme...
Et à ce propos, nous sommes entrés dans le big data ou les processus algorithmique ne sont pas dans le fait de completer des expressions formelles non considérées mais dans l'anticipation de besoins non encore exprimés sur la base d'algorithmes de réseaux neuronaux et de fermes de serveurs considerables
C'est encore une autre histoire...
si tu fais référence au livre "Gödel Escher Bach", c'est un livre intéressant et Hofstadter sait de quoi il parle, mais ça reste de la vulgarisation. Quand j'ai voulu savoir ce qu'était réellement le théorème de Gödel, j'ai lu le livre de Raymond Smullyan "Gödel's Incompleteness Theorems" (Oxford UP). Il suffit de lire les deux premiers chapitres, et même la lecture du chapitre introductif, où il n'y a pas de mathématiques suffit à comprendre de quoi il retourne. Ce livre devrait te plaire puisqu'il commence par exposer le point de vue de Tarski, qui fait usage de la notion de proposition vraie.
Bonjour,
Le terme "survendu" c'est moi qui l'avais utilisé dans un autre fil et j'ai l'avais exprimé dans un cadre bien précis il me semble, "survendus" par rapport au théorème de complétude qui, comme on a de cesse de le dire sur Futura, est le théorème qui pose la structure même de la logique classique du premier ordre, chose que ne font pas les théorèmes d'incomplétude, survendus par rapport au fait que la vulgarisation et la médiatisation nous font la tête comme une marmite avec ces théorèmes alors que le théorème de complétude bien plus fondamental est relégué au second plan, et même pire que ça pas relégué du tout dans la plupart des cas !!! ... Bref vulgarisation et médiatisation complétement à côté de la plaque, ... et c'est un sacré euphémisme.
Enfin il était aussi question d'impact où je rappelais simplement que pour une théorie éligible à son application le 1er théorème d'incomplétude ne fait pas autre chose que de construire un indécidable, un seul, complétement "bidon" d'un point vue mathématique, et ne donne aucune autre information sur de potentiels autres indécidables (par exemple l'indécidabilité du théorème de Goodstein dans PA, c'est le théorème de Kirby et Paris qui le donne).
Conséquence l'intérêt de ces théorèmes en "mathématique mathématique" est nul, ... et en logique mathématique ce sont des résultats intéressants pour ce qu'ils traitent, mais c'est aussi le cas pour bien d'autres résultats. Et j'avais rajouté pour être complet, que pour leur impact en espistémologie je laissais le soin à un epistémologue d'apporter l'information, et donc je n'avais jamais dit que ces théorèmes étaient survendus de ce point de vue.
Voili, voilou, c'était pour recadrer le terme "survendu" que j'avais employé, puisque de toute manière depuis le début il faut tout recadrer, ... on passe plus de temps à recadrer qu'à cadrer quoi que ce soit
Cordialement
Dernière modification par PlaneteF ; 25/03/2016 à 09h14.
Salut,
Perso, j'ai seulement lu l'article original de Gödel (mais traduit en anglais !!!!) et deux commentaires associés de deux logiciens sur les aspects métamathématiques.
Déjà, ça, c'est suffisant pour se faire une bonne idée de ce théorème, de sa signification et de son importance.
(relativement faible, ça a surtout un intérêt épistémologique (*) et je suis d'accord avec Mediat et PlaneteF pour dire que ce qui est le plus important pour les bases des mathématiques est le théorème de complétude).
(*) Il existe des indécidables bien connus en théorie des ensembles ou en géométrie, mais leur examen cas par cas est suffisant et ne nécessite pas d'avoir recours à Gödel.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
bah oui, le théorème de Gödel est un théorème d'existence. Ce n'est pas parce qu'Hermite a montré que e était transcendant que le théorème d'existence de Cantor perd tout intérêt.
Merci pour vos retours, l'échange bienveillant est plus intéressant que la fin de non recevoir
Concernant cet aspect "vulgarisation", je suis OK, évidemment...
Avant cette étape, passer d'une démonstration formelle à une pédagogie du sens même de la démonstration est déjà un exercice en soi, qui, souvent, ne nécessite pas de développer toutes les étapes du raisonnement ni, de résoudre l'ensemble des problématiques du système formel.
Il y a le degré de technicité, le sens pédagogique, le public concerné et l'honnêteté de celui qui s'y exerce.
Cela doit vous arriver parfois de simplifier un modèle pour en présenter l'intérêt et les conclusions à un public.
Prenez une simple Analyse en Composantes Principales que résumer l'information veut dire la déformer un peu mais c'est aussi et surtout...en extraire l'essentiel et la plus value du statisticien est à ce niveau sinon on se passerait de ses services, tout le monde "pourrait faire"...
Donc attention parce que se référer au formalisme initial exclusivement ne signifie ni qu'on en a compris l'ensemble ni qu'on en évite le contre-sens, d'autant plus que ce formalisme est délicat.
Nous sommes entourés de techniciens qui perdent le sens des algorithmes utilisés... et je m'efforce personnellement de redescendre au point où je valide l'essentiel de ma compréhension, ce qui ne m'évite pas parfois l'erreur, ce qui m'évite de redémontrer l'addition à chaque fois que j'en fait une...
Qu'est ce qui discrédite la rédaction anglo saxonne ? de Connes ? d'hofstatder ? de futura mathématiques ? de wiki ? des divers documents que je lis et dont je trouve une cohérence globale modulo le débat ouvert assertion indécidable / assertion vraie dont vous ne validez pas la légitimité ?
On peut objecter qu'ils n'ont pas compris et, par ricochet, que je ne l'ai pas compris.
Ou qu'ils ont compris et que je ne comprends pas...
Ou que vous avez compris et qu'ils ne comprennent pas...
Je l'ai étudié via des 'mécanismes simplificateurs' tels que ceux explicités par Hofstatder et bien d'autres présentations qui sont sur des formalismes mathématiques 'accompagnés' et non sur le formalisme originel de Godel
J'en ai retiré une compréhension d'ensemble, très légèrement "assistée", c'est vrai.
Et je présume que le message essentiel m'a été passé, en postulant que ces rédactions associées à ma conceptualisation de leur démonstration simplifiée est parfaitement cohérente et me laisse peu de questions libres dont je serais gêné.
En tout état de cause, comment peut on présenter le premier théorème par une illustration où on complèterait les théorèmes manquants simplement par l'ajout d'un nouvel axiome ?
Là, je me dis : problème...
Soit je ne l'ai vraiment mais vraiment pas compris (20 ans que je le regarde mais pourquoi pas)...soit ici il n'a pas été compris, soit la pédagogie de présentation est...."incomplète"
En ce sens, ça ne m'apparait pas stratosphérique de demander à celui qui ne se reconnait pas dans la présentation des deux théorèmes de ce site de les réécrire afin de mieux me les exposer.
Si ?
j'ai compris un exemple : le 5 ème axiome d'Euclide, il n'est ni démontrable ni réfutable au sein de la géométrie d'Euclide, donc on la rajoute comme postulat, mais on peut introduire sa 'négation' si j'ose dire (ma pauvre logique...) pour en construire d'autre géométrie.( Lobatchevski , Riemann ).
Disons qu'un axiome est par definition indémontrable
Et que, d'une theorie à l'autre, l'ajout d' un axiome A donnera des theoremes differents de l'ajout d'un theoreme A ´
C'est ce qui distingue euclide de Riemann
Godel est encore à un niveau different
On ne pourrait mettre A et A ´ dans le meme systeme formel car ils sont contradictoires donc la theorie ne serait plus consistante
Godel dit que si tu ajoutes des theoremes non contradictoires qui ne remettent pas en cause la consistance de la theorie, tous les systemes incluant l'arithmétique et qui gardent cette consistance demeurent incomplets
Godel va donc plus loin
l'axiome est démontrable dans la théorie.(je suis le dernier qui comprend ce qu'il dit Médiat, pas toujours quand s'a dépasse un certain seuil de logique... )
Dernière modification par azizovsky ; 25/03/2016 à 13h10.
ce n'est pas si simple. Un mathématicien qui veut développer une théorie nouvelle pose un certain nombre d'axiomes qu'il pense être indépendants, mais il se peut qu'on s'aperçoive après coup que l'un des axiomes est en fait une conséquence des autres. C'est ce que pensaient certains mathématiciens à propos du postulat des parallèles, jusqu'à-ce qu'on découvre les géométries non-euclidiennes.
