Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

[azizovsky]

à mon humble niveau de logique, je prend les 'axiomes' de jouer le foot, si j'enlève une de mes chaussure pour la tenir à la main et jouer avec, est ce qu'est définit dans 'les axiomes du foot'....
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[PlaneteF]

Disons qu'un axiome est par definition indémontrable

Médiat et moi-même t'avons déjà répondu là-dessus sur un autre fil et de manière précise, ... et je le répète une nouvelle fois, un axiome d'une théorie est démontrable dans cette théorie par la règle de déduction appelée "axiome" et qui est la suivante :




Cdt

[Médiat]

Bonjour PlaneteF,

Tu perds ton temps, tant que des gens croiront (je ne dis pas qu'ils ont tort de croire, je dis qu'ils croient, et donc que ce n'est pas scientifique) à une vérité transcendante à laquelle il faut atteindre, tu continueras de voir ce vocabulaire, et je rigolerai quand en "sortant du tribunal" pour voir "la réalité", ils se rendront compte qu'ils ont "vécu" toute leur vie dans la matrice

[invitea5cf685d]

Je vous remercie Planète F et Mediat, vous me donnez l'occasion d'apprendre de nouvelles choses et croyez moi il y a matière.

Au sein de l'arithmétique de Peano qui est la théorie de référence à partir de laquelle le théorème de Godel va pouvoir s'appliquer sur toutes les théories qui intègrent cette arithmétique, pouvez vous nous démontrer les 5 axiomes de la théorie au sein de la théorie ?

[Médiat]

Médiat et moi-même t'avons déjà répondu là-dessus sur un autre fil et de manière précise, ... et je le répète une nouvelle fois, un axiome d'une théorie est démontrable dans cette théorie par la règle de déduction appelée "axiome"

Et j'ajoute qu'AUCUNE proposition n'est intrinsèquement un axiome, être un axiome est une caractéristique (même pas une propriété) purement conjoncturelle.

[Médiat]

C'est plus fort que moi, je finis toujours par craquer :

Au sein de l'arithmétique de Peano qui est la théorie de référence à partir de laquelle le théorème de Godel va pouvoir s'appliquer

Oui (mais on pourrait partir du système Q)

sur toutes les théories qui intègrent cette arithmétique

Non, par exemple Th(IN, s, +, X, 0) intègre cette arithmétique et EST COMPLETE !

pouvez vous nous démontrer les 5 axiomes de la théorie au sein de la théorie

A part que je ne sais pas de quels 5 axiomes vous parlez, vous avez déjà eu 3 fois la démonstration, je doute qu'une quatrième fois améliore les choses.

[invitea5cf685d]

C'est plus fort que moi, je finis toujours par craquer :
A part que je ne sais pas de quels 5 axiomes vous parlez, vous avez déjà eu 3 fois la démonstration, je doute qu'une quatrième fois améliore les choses.

Je vous remercie de votre patience...
J'essaye d'exposer mon problème de compréhension et vous m'arrêtez au point concerné par une erreur de ma part quand il y a souci

1- Godel ne s'applique pas pour toutes les théories, il y a des théories et complètes et contradictoires
2- On sait que dès que la théorie intègre les nombres donc en tous cas l'arithmétique de Peano, les théorèmes d'incomplétude s'appliquent sous réserve de la présence d'axiomes récursivement énumérables
3- Les axiomes de l'arithmétique de Peano sont les suivants :

1.l'élément appelé zéro et noté 0, est un entier naturel.
2.Tout entier naturel n a un unique successeur, noté s(n) ou Sn.
3.Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur.
4.Deux entiers naturels ayant le même successeur sont égaux.
5.Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à N.

4- Vous m'apprenez que les axiomes d'une théorie peuvent être démontrés au sein de la théorie
5- Pouvez vous svp m'en faire la démonstration sur les 5 axiomes de l'arithmétique de Peano, j'ai toujours appris que ces axiomes étaient indémontrables, on m'aura trompé, évidemment.

Merci par avance, je souhaite juste comprendre comment un axiome d'une théorie peut être démontré dans la théorie et même si vous utilisez un formalisme logique approprié, je m'adapterai

[Médiat]

je viens de retrouver : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post2948127

[Médiat]

1- Godel ne s'applique pas pour toutes les théories, il y a des théories et complètes et contradictoires
2- On sait que dès que la théorie intègre les nombres donc en tous cas l'arithmétique de Peano, les théorèmes d'incomplétude s'appliquent sous réserve de la présence d'axiomes récursivement énumérables
3- Les axiomes de l'arithmétique de Peano sont les suivants :

1.l'élément appelé zéro et noté 0, est un entier naturel.
2.Tout entier naturel n a un unique successeur, noté s(n) ou Sn.
3.Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur.
4.Deux entiers naturels ayant le même successeur sont égaux.
5.Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à N.


4- Vous m'apprenez que les axiomes d'une théorie peuvent être démontrés au sein de la théorie
5- Pouvez vous svp m'en faire la démonstration sur les 5 axiomes de l'arithmétique de Peano, j'ai toujours appris que ces axiomes étaient indémontrables, on m'aura trompé, évidemment.

1) Le théorème de Gödel ne s'applique pas pour toutes les théories (il y a des conditions), Les théories non consistantes ne sont d'aucun intérêt, même si ce n'est pas précisé, on ne parle (dans 99.99% des cas) que de théories consistantes, certaines sont complètes (ordre total dense sans extremums), certaines sont incomplètes (théorie des groupes), certaines sont essentiellement incomplètes (AP, ZF, et pour ces deux là on ne sait pas si elles sont consistantes)
2) Oui, la précision "récursivement axiomatisable" est essentielle, la démonstration repose lourdement sur ce point !

3) L'axiomatique que vous citez est l'arithmétique du 2nd ordre (qui n'est pas une logique complète) et non l'axiomatique du premier ordre. A contrario, vous ne parlez ni de l'addition ni de la multiplication (ce n'est donc pas AP)

5) Vous avez déjà eu 3 fois la démonstration, je doute donc qu'une quatrième fois améliore les choses

[Deedee81]

Merci par avance, je souhaite juste comprendre comment un axiome d'une théorie peut être démontré dans la théorie et même si vous utilisez un formalisme logique approprié, je m'adapterai

Je ne comprend pas le souhait : ça déjà été donné deux fois (en tout cas je l'ai déjà vu deux fois, il y a peut être quelques messages que j'ai raté).
Voir le message 92 ci-dessus.

[invitea5cf685d]

Non mais ne vous inquiétez pas, Je vais m'arrêter ici de nos échanges sur ce sujet comme vous le souhaitez d'ailleurs parce qu'ils vont forcément être stériles sur ces bases là.

On est sur de bien trop mauvaises bases communes de la soi disant démontrabilité des axiomes notamment dans l'arithmétique de Peano 'au seuil de déclenchement' des théorèmes d'incomplétude à sa prétendue utilisation sur des théories complètes (un théorème d'incomplétude sur une théorie complète...) et ... bon...nous ne pouvons nous essouffler vous et moi je devrais presque reprendre chaque assertion mot à mot à commencer qu'un ensemble de formules k omega consistantes est une propriété encore plus forte que la consistance et que c'est défini d'entrée par Godel dans son premier théorème mais bon... passons

Gageons que je n'y comprends strictement rien, je prends note sans aucun souci

Le point 2 je suis ok, gardons cette note positive.

Bonne continuation dans cet étonnant enseignement de ces théorèmes mais, si vous le permettez, peut être un dernier point d'échange si vous le voulez bien évidemment
Qu'évoque pour vous cette image si vous deviez l'analyser ou la rejeter ?

*** Image sur un serveur externe ***

[Deedee81]

[...] la soi disant démontrabilité des axiomes [...]

La démonstration qui ne prend qu'une ligne a été donnée (au moins) deux fois et tu oses dire "la soi disant" ?
T'es sacrément gonflé !

[invitea5cf685d]

Gonflé ? non non, je vous explique si ce n'est pas clair.

Démontrer (en une ligne...) "qu'un axiome" "se démontre théoriquement dans la théorie d'appartenance", presque de manière autoréférentielle, oui j'ai vu un "truc cabalistique" (je parle pour mon degré de compréhension).
Je n'ai strictement rien compris à ce "truc cabalistique" donc à la "démonstration".
Je vous croirai sur parole sur ce que je ne connais pas si je n'avais appris à être réservé sur nos énormes différences d'appréciation dans le domaine que je connais.

Dans ma culture, un axiome est par définition non démontrable et j'imagine dans cette démonstration un cas particulier d'une théorie particulière...
Peut on démontrer un axiome ? si oui dans quel cadre ?
Ne confondons nous pas avec la validité d'un axiome ?
J'en sais rien... 1 ligne cabalistique je plaide totalement coupable sur ma non compréhension...

Concrètement la TNT ou l'arithmétique de Peano est une bonne base pour appliquer les théorèmes d'incomplétude.
Et aucun axiome de ces théories n'a été démontré par ce théorème sauf erreur de ma part....
Concrètement, je suis donc circonspect quant à son application pratique

Gageons que ce soit moi le problème, je veux bien l'entendre....c'est d'ailleurs ma conclusion.
Si a un problème tu ne propose pas trois solutions, c'est que tu fais partie du problème
Je m'applique mon principe.

Merci des échanges tout de même, vous m'avez consacré du temps je vous en remercie vraiment sincèrement.
Je n'ai pas réussi à apprendre c'est évident.

[Médiat]

Bonsoir,

Pour ceux qui s'intéresseraient au 1er théorème d'incomplétude de Gödel mais sans le côté marketing (qui ne fait qu'induire en erreur, cf. Levin), voici un énoncé qui ne nécessite aucune connaissance de mes non-dits :

En logique classique du premier ordre, il n'existe aucune théorie possédant conjointement les 4 propriétés suivantes :
1) Récursivement axiomatisable
2) Permettant d'exprimer l'arithmétique de Peano
3) Consistante
4) Complète

Je sais c'est moins sexy et aucune journaliste ne ferait un article la-dessus, mais c'est, au moins, mathématiquement correct.


(Il est possible de modifier certaines hypothèses : Système Q à la place de Peano, intuitionniste au lieu de classique, ... )

[invite23cdddab]

Dans ma culture, un axiome est par définition non démontrable

Alors votre culture n'est pas celle des mathématiciens.

Je n'ai strictement rien compris à ce "truc cabalistique" donc à la "démonstration".

Commencez donc par apprendre la base de la logique formelle qu'est le calcul des propositions avant de vouloir étudier des trucs plus approfondis :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_des_propositions

[invitea5cf685d]

Qu'est ce qu'un axiome au sens d'un mathematicien ?
Comment demontre t'on les axiomes de l'arithmétique de peano ou l'axiome d'une seule parallèle à une droite dans la géométrie d'Euclide ?
ayant ce talent, trouvez vous indigne d'expliquer pourquoi ma vision de l'axiome vu comme indemontrable est naive ?

[invitea5cf685d]

...Une seule parallèle passant par un point évidemment ... J'attends la salve autrement...

[leon1789]

Bonsoir

Qu'est ce qu'un axiome au sens d'un mathematicien ?

Un axiome est une affirmation de base que l'on considère comme vraie.

Comment demontre t'on les axiomes de l'arithmétique de peano ou l'axiome d'une seule parallèle à une droite dans la géométrie d'Euclide ?

Une preuve d'une proposition P est, disons naïvement, une suite de déductions (autorisés par une logique précisée) partant d'axiomes et aboutissant à la proposition P.

Pour faire une preuve, il faut donc préciser les axiomes et la logique autorisés. Pour chacun de vos exemple (Péano et Euclide), merci de les préciser.

ayant ce talent, trouvez vous indigne d'expliquer pourquoi ma vision de l'axiome vu comme indemontrable est naive ?

Elle n'est pas naïve, il y a seulement un manque de précision (à mes yeux).

[invitea5cf685d]

Mon propos critiqué était de dire qu'un axiome etait non demontrable
Si on le considère comme vrai, je ne vois pas de contradiction
Merci

[invite23cdddab]

Si A est un axiome, il existe une suite de deduction aboutissant a A :

Il suffit pour cela de remarquer que A =>A, et d'utiliser le modus ponens.

Ce que l'on peut dire, c'est qu' un axiome A de la théorie T n' est pas necessairement démontrable dans la théorie T auquelle on aurait retiré l'axiome A.

Et il existe des théories ou certains axiomes sont denombrables en Partant des autres : tu prends une théorie T, et un theoreme non trivial A de T, tu l'ajoute a T pour obtenir la theorie T' : alors on peut demontrer l' axiome A a l'aide des autres.

Apres en pratique on essaie d'avoir le moins d axiomes possibles, mais c'est uniquement pour faire joli

[leon1789]

Mon propos critiqué était de dire qu'un axiome etait non demontrable
Si on le considère comme vrai, je ne vois pas de contradiction
Merci

Dire << P est ou n'est pas démontrable >> est une phrase incomplète (donc critiquable à ce titre) si on ne précise pas les axiomes (et la logique) utilisés.
C'est ce que je vous ai demandé précédemment, mais vous n'y avez pas répondu.
Quand vous parlez de "démontrable" ou "non démontrable", il faut absolument préciser les axiomes de la théorie, sinon cela n'a pas de sens.
C'est comme si je vous disais de résoudre cette équation x^2 + 1 = 0 : cela n'a pas de sens si on ne précise pas à quel ensemble appartient x.
C'est comme si je vous demandais de factoriser le polynôme T^2+T-1 : cela n'a pas de sens si on ne précise pas l'anneau de base.
Quand vous parlez d'existence ou non existence de démonstration, vous devez préciser les axiomes de la théorie (et la logique également), sinon cela n'a pas de sens.

[leon1789]

A =>A, et d'utiliser le modus ponens.

D'ailleurs, je me demandais s'il ne suffisait pas d'écrire

A

pour prouver A à partir de A. Non ?

[invitea5cf685d]

notons que si a implique a permettant de démontrer a, et si h implique h permettant de demontrer h alors ah ah ah implique ah ah ah
Bien, j'ai compris merci

[Médiat]

Bonsoir,

Un axiome est une affirmation de base que l'on considère comme vraie.

Je me suis déjà prononcé de nombreuses fois pour exprimer ma défiance vis à vis de ce vocabulaire, mais au moins, ici, il est utilisé à bon escient puisqu'un axiome d'une théorie est prouvable dans cette théorie, il est donc "vrai" dans tous les modèles de cette théorie, il n'est donc pas nécessaire de préciser lequel.

[invitea5cf685d]

Un axiome est valide lorsqu'il est vrai dans tous les modeles...et une preuve est logiquement valide lorsqu'elle peut etre prouvée dans un systeme logique valide
J'attends toujours qu'on me prouve que dans la géométrie d'Euclide a un point ne passe qu'une parallèle à une droite
Ça ne se prouve pas mais une fois axiomatisé, c'est vrai dans tous les modeles de la theorie sinon elle est inconsistante...

[leon1789]

Une preuve d'une proposition P est, disons naïvement, une suite de déductions (autorisés par une logique précisée) partant d'axiomes et aboutissant à la proposition P.

pazuzen, êtes-vous d'accord avec l'approche ci-dessus de la notion de preuve ? Oui / Non / Autre (dans ce dernier cas, dîtes ce qu'est une preuve pour vous)

J'attends toujours qu'on me prouve que dans la géométrie d'Euclide a un point ne passe qu'une parallèle à une droite

Pour que nous soyons sur la même longueur d'onde, pouvez-vous nous rappeler les axiomes de la géométrie Euclidienne (j'ai l'impression d'avoir déjà évoqué le fait qu'il est nécessaire de préciser les axiomes avant de demander une preuve). Ensuite je me fais fort (suis-je présomptueux ?) de répondre à votre attente avec un peu de logique classique...

[PlaneteF]

Bonjour,

J'attends toujours qu'on me prouve que dans la géométrie d'Euclide a un point ne passe qu'une parallèle à une droite

Soient , , , et les 5 axiomes de la géométrie euclidienne, et l'axiome des parallèles.


On a :


CQFP (ce qu'il fallait prouver)


On passe à un autre sujet

[gg0]

Bonjour PlaneteF.

Dans l'axiomatique d'Euclide, le fait que par un point ne passe qu'une parallèle à une droite donnée est un théorème. le cinquième postulat d'Euclide est différent, il parles d'angles .

Pazuzen : "J'attends toujours qu'on me prouve que dans la géométrie d'Euclide a un point ne passe qu'une parallèle à une droite". Tant que tu attendras ... alors qu'il te suffit de lire une traduction des éléments d'Euclide pour avoir satisfaction ... Bouge-toi !!

Cordialement.

[PlaneteF]

Bonjour PlaneteF.

Dans l'axiomatique d'Euclide, le fait que par un point ne passe qu'une parallèle à une droite donnée est un théorème. le cinquième postulat d'Euclide est différent, il parles d'angles .

Bonsoir gg0,

Oui tu parles de la formulation historique d'Euclide himself, ... mais de toute manière je ne sais pas si tu as suivi les différents échanges avec pazuzen sur ce fil et aussi sur un autre, mais ce n'est pas là son questionnement qui est plutôt sur le fait qu'un axiome d'une théorie est démontrable dans cette théorie.

Cordialement

[invitea5cf685d]

Je suis désolé de vous le dire mais la démonstration de planeteF est du type ah ah ah
Si a implique a qui se demontre par a et si h implique h qui se demontre par h alors tout cela demontre ah ah ah en logique zygomatique

Quant à un axiome, il se valide à l'intérieur d'un modele mais il ne se demontre pas...

Vous savez, quand j'ai pris ce debat sur Godel, je percevais son incompréhension
Mais devoir reexposer qu'un axiome se valide à l'intérieur d'un modele pour y être intégré ce qui signifie qu'on valide qu'il n'y ait aucune contradiction avec ceux intégrés mais qu'un axiome ne se demontrait pas au sein de la theorie qui l'integre, je ne pensais pas devoir descendre à ce niveau la !

Bref, devoir re expliquer la notion d'axiome car il y a confusion entre "prouver un axiome" et le valider au sein d'une theorie me semble encore totalement extra terrestre ce soir à relecture

Merci quand même pour la demo de l'axiomatique d'Euclide ça vaut la médaille field