Le théorème d'incomplétude de Gödel peut-il nous aider à faire des achats sur Internet ?

[invite23cdddab]

Valider un axiome ?

Un axiome se décrète, c'est un choix arbitraire, et on peut mettre "ce qu'on veut" en tant qu'axiome, il n'y a rien à valider !
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[PlaneteF]

Je suis désolé de vous le dire mais la démonstration de planeteF est du type ah ah ah

Je t'ai donné une preuve rigoureuse dans le cadre du formalisme de la logique classique du premier ordre, formalisme que manifestement tu ne connais pas.

Quant à un axiome, (...) mais il ne se demontre pas...

Si je te l'ai prouvé rigoureusement dans le cadre du formalisme de la logique classique du premier ordre, formalisme que manifestement tu ne connais pas.

... mais qu'un axiome ne se demontrait pas au sein de la theorie qui l'integre,

... Non c'est faux, je t'ai justement prouvé rigoureusement le contraire dans le cadre du formalisme de la logique classique du premier ordre, formalisme que manifestement tu ne connais pas.


Cordialement

[Médiat]

@ pazuzen :

Relever toutes les erreurs qui courent dans ces quelques lignes demanderait trop de temps ; plusieurs personnes ayant une compétence, sur ce sujet, infiniment supérieure (ce qui ne met pas la barre très haut) à la votre ont essayé de vous expliquer, mais vous êtes rétif à tout effort de compréhension, rester dans votre ignorance si cela peut vous rassurer, mais, s'il vous plait, arrêter de nous faire part de tout ce qui peut vous passer par la tête avant d'avoir suivi de vrais cours de logique !

De plus vous moquer de PlaneteF qui vous a donné une démonstration formelle absolument parfaite, c'est vraiment à pleurer ... de rire, à vos dépens.

[leon1789]

pazuzen, pas évident de dialoguer avec vous puisque vous ne répondez pas aux questions de vos interlocuteurs. C'est donc juste un dialogue de sourd(s)...

[invitea5cf685d]

Pour tryss, bien sûr qu'un axiome se valide pour l'integrer à un systeme formel sans lui retirer sa consistance ...

Et c'est le formalisme qui explique qu'un axiome doit être vrai dans tous les modeles de la theorie qui amènent des logiciens en herbe à m'expliquer ici qu'un axiome se prouve...,
Non, un axiome ne se prouve pas

Et pour prouver qu'un axiome se prouve, on publie une formule formelle d'une ligne qu'on m'aurait d'ailleurs retourné plusieurs fois avec le petit souci de n'avoir rien compris de ce systeme formel..

Un axiome ne se prouve jamais dans un systeme formel mais oui on le valide pour garder la consistance de la theorie

Excusez moi mais la notion d'axiome est le b a ba

[Médiat]

Tout le monde ici, y compris des logiciens confirmés, vous disant que vous avez tort, il serait peut-être temps que vous vous interrogiez un peu sur vos compétences, ou plutôt leur absence (dans le meilleur des cas vous avez une vision des mathématiques qui est celle d'Euclide (2300 ans de retard quand même) !

Ce qui est dommage pour vous, c'est que vous n'avez pas une attitude scientifique, si vous aviez essayer un peu de comprendre ce qui est en jeu ici (et ce n'est plus un problème de philosophie (*)) vous auriez, sans doute (?), compris depuis longtemps.

(*) quitte à parler de formalisation à la place de formalisme pour certains

[PlaneteF]

Bonjour,

Pour tryss, bien sûr qu'un axiome se valide pour l'integrer à un systeme formel sans lui retirer sa consistance ...

Et c'est le formalisme qui explique qu'un axiome doit être vrai dans tous les modeles de la theorie qui amènent des logiciens en herbe à m'expliquer ici qu'un axiome se prouve...,
Non, un axiome ne se prouve pas

Et pour prouver qu'un axiome se prouve, on publie une formule formelle d'une ligne qu'on m'aurait d'ailleurs retourné plusieurs fois avec le petit souci de n'avoir rien compris de ce systeme formel..

Un axiome ne se prouve jamais dans un systeme formel mais oui on le valide pour garder la consistance de la theorie

Excusez moi mais la notion d'axiome est le b a ba

Relou de chez relou et relou de chez relou sont dans un bateau. Relou de chez relou tombe à l'eau, qu'est-ce qui reste ?

 Cliquez pour afficher

Relou de chez relou

[invite23cdddab]

Pour tryss, bien sûr qu'un axiome se valide pour l'integrer à un systeme formel sans lui retirer sa consistance ...

C'est souhaitable mais pas nécessaire. Il n'y a aucun problème a avoir des théories non consistantes, c'est juste que ça n'a aucun intérêt en pratique !

Non, un axiome ne se prouve pas

Bah si. C'est même une démonstration triviale.

Vous confondez A prouvable dans une théorie T (ou A est un axiome de T) avec A prouvable dans la théorie T' qui est la théorie T auquel on a retiré A en tant qu'axiome. Mais dans T', A n'est pas un axiome !!!

Un axiome ne se prouve jamais dans un systeme formel mais oui on le valide pour garder la consistance de la theorie

Pourtant il peut arriver qu'un axiome soit un théorème de la théorie initiale privée de cet axiome.

[karlp]

Non, un axiome ne se prouve pas

Tout le monde vous dit le contraire ici. Vous ne comprenez pas que A est démontrable à partir de A, probablement parce que vous accordez à l'idée de démonstration une signification qui a été abandonnée il y a quelques temps maintenant: votre conception de l'axiome date du XIXème siècle et ce sont effectivement des présupposés philosophique qui font obstacle à votre compréhension.
J'aimerais bien savoir quelle règle interdit, d'après vous, que A soit démontrable à partir de A

[invite9dc7b526]

J'aimerais bien savoir quelle règle interdit, d'après vous, que A soit démontrable à partir de A

A la décharge de pazuzen, on peut dire que "A démontrable de A" ne correspond pas vraiment à l'idée qu'on se fait de quelque-chose de démontrable...

[invitea5cf685d]

Juste un intérêt à une theorie consistante....

C'est sûr qu'ajouter des axiomes contradictoires ou générer des paradoxes autoreferentiels dans un systeme qui font qu'on peut demontrer une chose et son contraire est super intéressant pour le mathematicien...

Entre le fait de prétendre prouver un axiome au sein d'une theorie et le fait de voir un intérêt quelconque aux theories non consistantes, j'aurais tout lu...

Garbage in garbage out
C'est la meilleure chose qui me vient à l'esprit à lecture

[Médiat]

Tryss2, je suis triste avec vous, mais la preuve est faite :
Soit pazuzen ne sait pas lire
Soit pazuzen ne comprend rien à ce qu'il lit, y compris la grammaire de base
Soit pazuzen modifie volontairement ce que chacun écrit afin d'en faire la critique

La dernière possibilité étant la plus probable, et caractéristique du troll bas de gamme : et là j'écris en vert, toute nouvelle tentative de ce type sera modérée immédiatement !

[Médiat]

Pourtant il peut arriver qu'un axiome soit un théorème de la théorie initiale privée de cet axiome.

Et il arrive très souvent qu'un axiome d'une axiomatique particulière d'une théorie, soit un théorème de cette même théorie (sans en être un axiome) pour une autre axiomatique.

[Deedee81]

Salut,

La discussion s'est vachement prolongée pendant mon absence. Je n'insisterai donc que sur un seul constat.

Je n'ai strictement rien compris à ce "truc cabalistique" donc à la "démonstration".

Dans ce cas on dit "je n'ai pas compris" ou "je n'ai pas compris tel symbole ou telle notation".
Et certainement pas : "la soi disant démontrabilité"

Ca signifie que lorsque tu ne comprends pas, plutôt que de le dire, tu préfère tenir des propos insultants.

Ceci en plus de :

pazuzen, pas évident de dialoguer avec vous puisque vous ne répondez pas aux questions de vos interlocuteurs. C'est donc juste un dialogue de sourd(s)...

Il n'est pas le premier à le relever. Leon a raison, c'est un dialogue de sourd.

Je n'interviendrai donc plus dans cette discussion.

[JPL]

N'ayant pas participé à cette discussion je ne me sens pas impliqué mais je remarque comme simple spectateur que lorsque pazuzen ne comprend pas il s'entête, et si l'entêtement ne suffit pas il insulte, parlant par exemple de logiciens en herbe sans se rendre compte qu'il y a un axiome fondamental : si on crache en l'air ça vous retombe sur le gu..le !

Mode modérateur
Je ne pourrais revenir sur cette discussion que lundi soir. Si je vois alors un seul terme de mépris ou une répétition obstiné d'affirmations plusieurs fois démenties par plusieurs intervenants compétents je fermerai la discussion... si personne ne l'a fait avant.

[invitea5cf685d]

Voici un lien qui reprend pour le lecteur qui voudrait se faire une opinion sur la nature du caractère ou pas demontrable des axiomes et sur le caractère valide ou pas d'une theorie mathematique inconsistante une opinion éclairée
Mes docs ne sont pas ésotériques, ne sont pas dogmatiques, n'entendent contredire personne...
Bien amicalement
http://www.liafa.univ-paris-diderot....odel_final.pdf

[azizovsky]

un peu de logique élémentaire comme la mienne, supposant que les axiomes sont indémontrables dans une théorie, donc des indécidables, on peut ajouter l'énoncé (axiome) et sa négation au sein de la le même théorie..

[azizovsky]

déjà dans ton lien :

Cela signifie que dans une théorie complète, POUR TOUT ENONCE P, on peut toujours trancher sur la
véracité de P. Autrement dit, on peut toujours démontrer soit que P est vraie, soit que P est fausse.

Une théorie incohérente n'a aucune valeur mathématique3
: si elle permet de démontrer un énoncé et son contraire, alors elle ne peut décrire aucun modèle, car dans un modèle chaque énoncé est soit vrai soit faux

[Médiat]

un peu de logique élémentaire comme la mienne, supposant que les axiomes sont indémontrables dans une théorie, donc des indécidables, on peut ajouter l'énoncé (axiome) et sa négation au sein de la le même théorie..

Bonjour,

La question qui sous-tend votre remarque n'est pas celle des axiomes mais celle des indécidables :

Si est indécidable dans , c'est à dire si et , alors on peut ajouter (resp. ) comme axiome à et obtenir une théorie consistante, mais alors (resp. ) est démontrable dans (resp. ).

Pour la démonstration : voir les 3 posts de PlaneteF sur le sujet ; pour la compréhension : il suffit de se rappeler qu'un axiome n'est RIEN d'autre qu'un énoncé faisant partie d'UN système axiomatique, il est très aisé de trouver un autre système axiomatique ne contenant pas mais générant la même théorie que , il va de soi (c'est évident, trivial) que est un théorème de ce nouveau système axiomatique, il est donc démontrable dans cette théorie (sans utiliser la démonstration de PlaneteF qui semble un peu trop formelle(*) pour être bien comprise).

Si je voulais être un peu provocateur, je dirais que la notion d'axiome n'a aucun intérêt, la notion essentielle est celle de système axiomatique, et il suffit de dire que c'est un ensemble d'énoncés au lieu de dire que c'est un ensemble d'axiomes pour que la notion d'axiome disparaisse complètement.

J'ai aussi le sentiment que vous prenez pour acquis qu'un système d'axiomes est "libre", chaque axiome étant non démontrable à partir des autres, c'est une notion intéressante (elle diminue le travail pour trouver un modèle), mais loin d'être essentielle, la seule chose exigée est qu'il soit "générateur", les deux théories les plus célèbres, les axiomatiques usuelles de AP et ZF ne vérifient pas cette condition. C'est à dire que pour ces deux systèmes axiomatiques certains axiomes sont parfaitement démontrables à partir des autres exclusivement.

(*) Comme si on pouvait être trop formel

[azizovsky]

Bonjour Médita, merci, j'ai tous compris , je sais qu'on peut obtenir deux théorie à partir d'un indécidable (je n'ai pas oublié l'exemple sur les géométries que tu m'a expliqué..., je voulais dire qu'on peut construire un modèle axiomatique avec comme ZFC..,car ils ne sont pas démontrable d'après lui (les deux sont libre..., car indémontrables)

moi même je commence à mélangé les pinceaux ...

[Médiat]

Bonjour Médita

J'adore cette faute de frappe, merci

[invitea5cf685d]

Je suis bien ok pour dire qu'un indecidable peut-être intégré comme nouvel axiome A à une theorie T sans en affecter la consistance
De même que son alternative "non A" peut-être affectée à une theorie T' issue de T sans en affecter non plus la consistance

Mais on voit bien alors que l'axiome A comme l'axiome non A étant des indecidables de la theorie T, ni l'un, ni l'autre ne se demontrent dans T...par definition
Ce qui n'empêche pas ces axiimes de T et de T' d'être des theoremes donc des démonstrations eventuelles dans d'autres theories.

Par ailleurs et j'ouvre une question bienveillante...j'ai évidemment à l'esprit qu'aucun ajout infini d'axiomes ne regle la question de la completude de la theorie T qui, si elle intègre l'arithmétique de peano et si elle est recursivement enumerable restera dans tous les cas incomplète, de nouveaux indecidables se presentant à chaque ajout d'axiome

Je ne veux surtout pas polémiquer mais sommes nous en accord la dessus ?

[Médiat]

j'ai évidemment à l'esprit qu'aucun ajout infini d'axiomes ne regle la question de la completude de la theorie T qui, si elle intègre l'arithmétique de peano et si elle est recursivement enumerable restera dans tous les cas incomplète, de nouveaux indecidables se presentant à chaque ajout d'axiome

NON, ceci est faux comme déjà expliqué, démontré (par un contre exemple) et référencé (texte de Delahaye)

[azizovsky]

Je suis bien ok pour dire qu'un indecidable peut-être intégré comme nouvel axiome A à une theorie T sans en affecter la consistance
De même que son alternative "non A" peut-être affectée à une theorie T' issue de T sans en affecter non plus la consistance

Mais on voit bien alors que l'axiome A comme l'axiome non A étant des indecidables de la theorie T, ni l'un, ni l'autre ne se demontrent dans T...par definition
Ce qui n'empêche pas ces axiimes de T et de T' d'être des theoremes donc des démonstrations eventuelles dans d'autres theories.

même si je ne suis pas formaté en logique, soit une théorie et qu'on trouve un énoncé indécidable dans .

on ajoute à càd , d'après ce que j'ai compris, l'énoncé indécidable dans qui devient un axiome (théorème d'après toi) dans démontrable (décidable).

énoncé indécidable dans .

axiome ''énoncé"démontrable dans (cqfd).

moi aussi je suis un têtu...

[invitea5cf685d]

Je suis désolé mes messages sont supprimés je ne peux echanger
Bien amicalement

[Médiat]

C'est exact, en vertu du préavis : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post5544297

Ceux qui ne tombe pas sous ce coup sont conservées, par exemple : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post5544878

[azizovsky]

Je suis désolé mes messages sont supprimés je ne peux echanger
Bien amicalement

tu peux me sortir tous ce que tu veux, moi, j'ai appliqué ça, j'ai tourné autour d'un indécidable dans une théorie physique plus de 10 ans...., donc ....

[invitea5cf685d]

Donc il devient impossible de communiquer avec une argumentation contraire sans avoir à censurer ?

Ecrire que toute theorie peut-être qualifié de complete en ajoutant une infinité d'axiomes aurait évidemment poussé les mathematiciens à developpersun seul formalisme...
Je comprends mieux l'impact des theoremes de Godel dans le monde mathematique qui a conduit à l'arrêt de cette demarche que la platitude du raisonnement présenté ici qui, en effet n'est pas prêt d'attirer un journaliste

[Médiat]

Cela tombe bien, la majorité des mathématiciens ne travaille pas pour les journalistes !

C'est votre habitude de déformer les écrits des uns et des autres qui conduit à la suppression de vos trolls !

[azizovsky]

tous ce que j'ai compris (....Gödel), qu'il y'a toujours du travail dans les domaines des mathématiques, pas de chômage.....