[Arithmétique] Racines complexes.

[invitec2b57d0c]

Bonsoir à tous novices et érudits,

J'aurai une fois encore besoin de faire appel à votre savoir.
En effet, je bute sur une question mathématique et malgré avoir trifouiller
par ci, par là tant dans des bouquins que sur Internet, je n'ai malheureusement pas
trouvé de réponse à mon problème, ce qui semble étonnant étant donné la banalité de l'énoncé.

Le voici :
Pour a (Réel positif non nul) et n (naturel non nul)
Donner l'ensemble des racines complexes de Z^(n) + a.
ça a de la gueule hein ?

Bref, j'ai testé du côté des racines n-ièmes, mais je trouve mes résultats un peu trop bancales pour m'en satisfaire.
-----

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,

un résultat important, si tu connais les racines n-ième de l'unité, alors si tu as une racine n-ième a_0 d'un complexe a alors trouver les racines n-ième de a revient à multiplier a_0 par les racines n-ième de l'unité.

Ici tu peux deux considérer le module et un argument de -a. Alors la racine n-ième du module et 1/n fois l'argument choisi te donneras une racine n-ième de -a. Peut être considérer l'argument de a au lieu de celui de -a pour plus de logique.

[invitec2b57d0c]

Merci de ta réponse Roberto,

J'étais en effet allé voir de coté, le fait est qu'utilisé la formule des racines n-ièmes (bien que juste) me semblait trop simple.
J'aurai souhaité obtenir un résultat d'un manière moins conventionnelle.
Enfin il me semble que de cette façon, on obtient finalement [a^(1/n)]*[e^(2ikπ/n)], k compris dans [0,n-1]. avec a_0 = a^1/n que l'on multiplie par la racine n-ième
de l'unité.
a étant ici réel, on a bien |a|=a et arg(a) = 0...

ça me semble tout de même un peu simple

[RoBeRTo-BeNDeR]

Justifie bien que a est réel positif non nul car sinon n'a strictement aucun sens sur . Et encore, même sur il y a des problèmes quand n est pair.

[A voir en vidéo sur Futura]