endomorphisme symétrique

[invite371ae0af]

bonjour,

j'aimerai avoir une réponse sur: (on est dans R²)
la matrice d'un endomorphisme symétrique dans n'importe quelle base est-elle toujours symétrique?

je pense que la réponse est oui:
soit u un endomorphisme symétrique, B une base quelconque de R²
mat_Bu=A
et comme
on a

est ce bon?

merci de votre aide
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[invite332de63a]

Bonjour, en espérant ne faire aucune erreur

Soit A une matrice symétrique carrée d'ordre n représentant la matrice d'un endomorphisme u dans une certaine base. Un "changement de base" revient à conjuguer A par une certaine matrice P inversible représentant le "changement de base", c'est à dire on obtient que l'on note B. Alors .

On a donc B est symétrique si et seulement si si et seulement si si et seulement si si et seulement si (et on a ).
Donc si A est invariant par conjugaison par toute matrice symétrique inversible, toute conjugaison de A est symétrique.(*)

De plus si je ne me trompe pas et qu'en plus toute matrice symétrique inversible peut s'écrire sous la forme avec P inversible alors il devrait y avoir équivalence en (*).

[invite371ae0af]

en faite je pense que la réponse à la question est non:
A=
1 2
2 1

je prend e'1=e1-e2 et e'2=5e1-3e2

du coup la matrice de u dans B'={e'1,e'2} est :
A'=
-1 -16
0 3

donc la matrice de u dans B' n'est pas symétrique