Endomorphisme nilpotent et inversibilité

[CosMayou]

Bonjour,

Quelqu'un pourrait m'expliquer la raison pour laquelle un endomorphisme nilpotent ne peut pas être inversible?

Merci beaucoup
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[369]

si on prend un endomorphisme u nilpotent d'ordre k dans N et A la matrice de u alors det(A^k)=0
[detA]^k=0 donc detA=0 et A n'est pas inversible. du coup u non plus

[Snowey]

Ou sinon, si on considère A la matrice associée à u un endomorphisme nilpotente d'ordre k (dans une même base B, i.e ), on a et (traduction d'être nilpotente)
Donc où , ce qui implique directement A non inversible !
(par l'absurde, si A était inversible, on aurait une contradiction avec l'hypothèse de la matrice non nul).

[leon1789]

Bonjour,

Quelqu'un pourrait m'expliquer la raison pour laquelle un endomorphisme nilpotent ne peut pas être inversible?

Merci beaucoup

...sauf si c'est un endomorphisme de l'espace nul

[A voir en vidéo sur Futura]

[CosMayou]

Merci pour vos réponses! J'ai compris celle de 369 mais
Snowey pourquoi si A.A^(k-1)=0 alors A non inversible ? C'est parce que tu en déduis que A=0? On peut avoir un produit de matrices nul sans qu'elles soient nulles non?
Je ne comprends pas

[invite2b14cd41]

Ce qu'il voulait dire, c'est que , comme est non nul, alors il existe un vecteur X, tel que le vecteur est non nul, et ce vecteur appartient au noyau de A, qui n'est donc pas inversible, absurde.

[sknbernoussi]

Vous savez , on peut ne pas parler de matrices pour montrer qu'un endomorphisme nilpotent ne peut être inversible.
En effet, soit f nilpotent d'ordre n. On suppose que f est inversible. Ce qui veut dire que f est bijectif donc la composée n-ième de f est bijective aussi, ce qui veut dire que l'application nulle est bijective ce qui est évidemment absurde.

[Snowey]

Je l'aurais dit comme ça:, ( or cette application est, par définition non nulle donc il existe un vecteur de la base B (celle-ci étant génératrice, on est assuré de son existence) tel que blablabla donc la matrice de cet endomorphisme est non nulle).
Du coup, si A était inversible, on aurait (en simplifiant à gauche donc, CosMayou ^^) : contradiction avec .



En fait je n'ai jamais vu la notation B(X) (matrice d'un endormorphisme et d'un vecteur ? ).
Par contre, en raisonnant avec u et en revenant au matrices je crois comprendre: tu dis qu'il existe (je le prends dans B, mais ça ne change rien) tel que , or par on retrouve que . u n'est donc pas injective, et par conséquent A, sa matrice associée, n'est pas inversible.

En fait on vient de finir les matrices, et j'ai parfois du mal à ne pas revenir à leur signification (i.e aux endomorphismes qu'elles représentent ...), mais ton explication est très claire puisque je viens de la "recopier" dans le monde des endomorphismes, n'est ce pas ?
Mais comme je n'ai jamais vu cette notation ... (je la comprends "à peu près"). C'est , n'est ce pas ?
Et alors on traduit ?
Bon, je suis pas encore très à l'aise avec cette écriture A(X).

Merci beaucoup d'avance



PS: Oui pour Sknbernoussi