Matrice.

[invite2ec0a62b]

Bonsoir tout le monde,
je voudrai étudier la matrice
Je commence par la détermination des puissances de A. Je remarque les 2 de la diagonales sont élevés à la puissance k dans la matrice , et que les 0 initiales restent aussi, par contre je n'arrive pas à trouver une formule générale pour les 4,6,et3...
-----

[sylvainc2]

Tu peux peut-être essayer ceci: A = D + N où D est diagonale et N nilpotente

alors A^k = (D+N)^k et par le binôme de Newton:



et on arrête là car N³ =0 et les autres termes du développement du binôme sont nuls.

[invite2ec0a62b]

Oui bien sûr, j'avais vu ça. Je vous remercie. Si vous permettez, voici une autre question que je n'arrive pas à résoudre, un indice sera suffisant.
.
Montrer qu'il existe ( et déterminer) deux suites et telles que pour tout : .
J'ai calculé les premières puissances, je vois une certaine logique dans l'évolution des coefficients de A en fonction de la puissance, mais je ne vois pas les deux suites. Noter que et .
Merci pour votre collaboration.

[invite705d0470]

Bonjour !
(j'espère ne pas vous embêter :/)
Du coup, pour la première matrice vous avez simplement écrit ?
Sinon, ne peut on pas utiliser le polynôme annulateur ? (j'espère que c'est le bon )
En effectuant la division euclidienne de par P, (on note Q et R les quotient et reste de cette division, et on les indexe selon la puissance divisée) on aura car P est justement annulateur de A. On a de plus R de degré au plus 1: . On peut le déterminer.
Or P(4)=0 et P(2)=0, ce qui donne (en revenant à l'écriture de la division euclidienne, que je n'ai pas écrite) d'où .

Et on a donc .

J'ai pensé à cette méthode car elle peut peut être vous être utile pour cette seconde matrice, en écrivant que est annulateur de A (quitte à multiplier par A ?).

En espérant vous avoir aidé

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9617f995]

Bonjour,

Une méthode possible ici est bien d'utiliser les polynômes annulateurs par contre attention, le polynôme X²-tr(A)X+det(A) est annulateur de A si A est une matrice 2x2.
Dans le cas général, un polynôme annulateur est toujours donné par le polynôme caractéristique. Parfois il en existe de plus simple mais en l'occurence pour la première matrice, il s'agit du plus petit polynôme annulateur de A. Il faut donc reprendre le raisonnement de Snowey avec le polynôme (X-2)^3.

Pour la seconde matrice, c'est la même chose, reste à trouver un polynôme annulateur. Mais comme je l'ai dit plus haut, le polynôme carac l'est toujours.

N'hésite pas à demander si tu bloques,
Silk

[invite705d0470]

Une fois de plus, j'ai dit une bêtise :/
Dans mon cours on ne l'a en effet exhibé que pour les matrices 2x2 et je pensais que cela se generalisait, mais j'ai oublié de changer le polynôme !!!
Désolé :/