Indicatrice d'euler

[invite72334b6e]

Bonsoir,


Soient p et q deux nombres premiers impairs distincts et soit
l'entier n = pq .

Soit un entier x premier avec n.
Comment montrer que x^{φ(n)/2} = 1 mod p et que
x^{φ(n)/2} = 1 mod q et que x^{φ(n)/2} = 1 mod n.

Merci d'avance.
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Voici une liste d'ingrédients permettant, au niveau des n° 3, 4 et 5, de répondre aux trois questions posées :

1. φ(p) et φ(q) sont pairs ;
2. φ(n)=φ(p)φ(q) ;
3. x^φ(p)=1 mod p ;
4. x^φ(q)=1 mod q ;
5. le théorème chinois : Z/nZ est isomorphe à Z/pZxZ/qZ.

[invite72334b6e]

Pour montrer x^{φ(n)/2} = 1 mod p par exemple :

x^φ(p)= 1 mod p donc x^{φ(p)φ(q)} = 1 mod p donc x^{φ(n)/2} = 1 mod p car φ(p) et φ(q) sont pairs.

Est-ce correct ?

[invite57a1e779]

Je ne comprends pas l'utilisation de l'argument: « car φ(p) et φ(q) sont pairs».

[A voir en vidéo sur Futura]