Indicatrice d'Euler

[invite2b14cd41]

Salut, pouvez-vous svp m'expliquer pourquoi en prenant un entier n impair on a la relation suivante:
De même lorsque n est pair on a
Je ne suis vraiment pas familier avec cette fonction.
Merci d'avance.
-----

[Tiky]

Soit la décomposition en nombre premier de n. Comme n est impair, 2 ne figure pas dans cette décomposition. On sait alors que :

et on a donc : .

Même démonstration pour n pair.

[invite2b14cd41]

On sait alors que :

et on a donc : .

Même démonstration pour n pair.

Ah bon? Est-ce si évident que cela? Je ne connais pas cette formule

[breukin]

Une formule plus habituelle est :

ce qui donne l'autre formule en calculant :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe08d051]

Salut,

Vue la définition de l'indicatrice d'Euler, il est clair que si m et n sont deux entiers premiers entre eux: .

Ca évite de passer par des formules plus complexes, surtout quand on ne les connait pas.

Je te conseille l'article de wiki que je trouve intéressant:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Indicatrice_d%27Euler

[invite2b14cd41]

Salut,

Vue la définition de l'indicatrice d'Euler, il est clair que si m et n sont deux entiers premiers entre eux: .

Ca évite de passer par des formules plus complexes, surtout quand on ne les connait pas.

Je te conseille l'article de wiki que je trouve intéressant:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Indicatrice_d%27Euler

Pourquoi est-elle multiplicative si m et n sont premiers entre eux? Et votre méthode ne permet pas de justifier le cas où n est pair.
Le lien wiki explique "Le théorème chinois montre que G est isomorphe à GuxGv." Je ne comprends pas ce "groupe produit", ni ce que viens faire le lemme chinois dans l'affaire.

[invitec317278e]

ce n'est pas aussi trivial que mimo te laisse le penser.

[Seirios]

Ah bon? Est-ce si évident que cela? Je ne connais pas cette formule

Il y a une preuve de cette formule sur la page de wikipédia. En voici une autre que j'aime assez :

Considérons l'expérience aléatoire suivante : on tire au hasard un nombre , calculons la probabilité de l'événément A="k est premier avec n". Pour cela, on considère l'espace de probabilité avec P la probabilité uniforme.

On a bien sûr . Soit alors la décomposition de n en facteurs premiers : , et notons les événements ="k est multiple de ", k=1,...,r. On a pour k=1,...,r, et on remarque que les sont indépendants, et donc les également.

Or k et n sont premiers entre eux si, et seulement si, pour tout , ne divise pas k, donc .

Ainsi, on a bien .

[invitebe08d051]

ce n'est pas aussi trivial que mimo te laisse le penser.

Bon, c'est vrai qu'au début j'avais en tête une démo, qui s'est avérée fausse.

Maintenant, quand j'y repense, il suffit de voir que si et sont premiers entre eux est isomorphe à

Et comme cette bijection est un isomorphisme d'anneaux, elle transforme les élements inversibles du départ en elements inversibles de l'arrivée et conserve le cardinal donc:



Après, il suffit de voir que

[invite652ff6ae]

Et comme cette bijection est un isomorphisme d'anneaux, elle transforme les élements inversibles du départ en elements inversibles de l'arrivée et conserve le cardinal donc:

Salut, je ne comprends pas pourquoi

Quelqu'un pourrait-il expliquer, merci

[invite2b14cd41]

non, je n'ai rien dit. en fait je ne vois pas comment montrer l'isomorphisme. ok, m et n sont premiers entre eux, et alors?

[Seirios]

Salut, je ne comprends pas pourquoi

Quelqu'un pourrait-il expliquer, merci

Si A et B sont deux ensembles finis, , non ?

non, je n'ai rien dit. en fait je ne vois pas comment montrer l'isomorphisme. ok, m et n sont premiers entre eux, et alors?

C'est un résultat classique, le théorème chinois : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...anneaux_Z.2FnZ.

[invite2b14cd41]

C'est un résultat classique, le théorème chinois : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...anneaux_Z.2FnZ.

Merci. "si α est un multiple de chaque ni, alors α = 0[n], c’est-à-dire α est un multiple du produit Ceci résulte de l'hypothèse que les ni sont premiers entre eux deux à deux." est la clé.

[invite652ff6ae]

Si A et B sont deux ensembles finis, , non ?

Effectivement, j'ai confondu avec les dimensions...

Merci

[invite2b14cd41]

Si A et B sont deux ensembles finis, , non ?

Ce n'est pas aussi simple que ça, on est obligé de passer par l'isomorphisme, car ici on parle bien du cardinal de l'ensemble des INVERSIBLES.

[invitec317278e]

Merci. "si α est un multiple de chaque ni, alors α = 0[n], c’est-à-dire α est un multiple du produit Ceci résulte de l'hypothèse que les ni sont premiers entre eux deux à deux." est la clé.

Je signale juste que l'article de wikipedia, pour montrer le théorème des restes chinois, utilise le fait que les 2 groupes ont même nombre d'éléments. Ceci découle du caractère multiplicatif de l'indicatrice d'Euler. Donc si pol92joueur cherche à montrer que l'indicatrice d'euler est multiplicative, la démonstration de wikipedia n'est pas censée le satisfaire puisqu'elle considère cette propriété comme admise

tout ça à cause des "il suffit" lancés un peu trop à l'arrache par certains

[invite2b14cd41]

Je signale juste que l'article de wikipedia, pour montrer le théorème des restes chinois, utilise le fait que les 2 groupes ont même nombre d'éléments. Ceci découle du caractère multiplicatif de l'indicatrice d'Euler. Donc si pol92joueur cherche à montrer que l'indicatrice d'euler est multiplicative, la démonstration de wikipedia n'est pas censée le satisfaire puisqu'elle considère cette propriété comme admise

tout ça à cause des "il suffit" lancés un peu trop à l'arrache par certains

Je ne comprends pas très bien votre remarque. La demo de wikipedia pour montrer l'isomorphisme d'anneau me semble correcte.

[invitec317278e]

Elle est correcte.

la démo commence par : "Pour le montrer, on remarque d'abord que les deux ensembles truc et machin ont le même nombre d'éléments."
Comment justifies-tu cette phrase ?

[invite2b14cd41]

Elle est correcte.

la démo commence par : "Pour le montrer, on remarque d'abord que les deux ensembles truc et machin ont le même nombre d'éléments."
Comment justifies-tu cette phrase ?

En utilisant l'argument de Seirios (Phys2)! (Si A et B sont finis, Card(AxB)=Card A . Card B)
Le but ensuite en etablissant l'isomorphisme c'est de prouver qu'il y a autant d'elts inversibles dans les 2 groupes.

[invitec317278e]

oups, pardon, je lisais autre chose que ce qui était marqué sur la page