bonjour,
j'aurai quelque question à propos de la fonction d'Euler que je note f:
1)est-ce que? si oui pourquoi?
2)soit n un entier positif et p un facteur premier de n. Montrer que p-1 divise f(n)
j'ai posé n=pM donc f(n)=(p-1)f(M)(d/f(d)) avec d=pgcd(p,M). Donc (p-1) divise f(n)
3) Trouver les valeurs de n pour lesquels f(n)=18
Là j'ai trouvé n=19 mais comment trouver s'il y a d'autres valeurs?
merci de votre aide
1) Oui, ça vient d'un théorème qui dit que f(ab) = f(a)f(b) SI a et b sont premiers entre eux. La démonstration utilise le théorème chinois...
2)Tu dois pour cette question savoir exprimer f(p^n) en fonction de p. La méthode est la suivante : il y a p^n nombres entre 1 et p^n dont p^(n-1) ne sont pas premiers avec p^n. donc f(p^n) = p^n-p^(n-1) = p^(n-1)[p-1]
Ensuite tu décomposes f(n) et tu vois que p-1 divise f(n)
Pour la 3 si je fais pas d'erreurs : comme tu peux le voir, tous les facteurs premiers de n apparaissent dans la décomposition en nombres premiers de son image, donc pour que f(n) = 18, n doit multiplier les nombres premiers 2 et 3 et uniquement ceux là. n s'écrit alors 2^k .3^m tu as f(n) = 2^k.3^(m-1) = 18 On voit que seuls les entiers k inférieurs à 5 conviennent, et une petit test de toutes les valeurs de k inférieurs à 5 te donne que seuls 19 et 54 conviennent comme valeurs de n.
Enfait pour la 3, ma réponse n'est pas claire, tous les facteurs premiers de n apparaissent dans f(n) mais peuvent être à la puissance 0 d'où le fait que 19 convienne : f(19) = 19^0(19-1). Si un nombre premier p apparait dans n il doit être de sorte que p-1 soit inférieur ou égal à 18 (car f(n) se factorise en (p-1).k). On élimine donc les nombres premiers 5 11 12 17 (car 4 10 11 et 16 ne divisent pas 18). Il reste 7 qu'il faut vérifier. soit donc n=7.2^k.3^m on a f(n) = 6.2^k.3^(m-1) où l'on voit que n = 6.3^2 = 54 donc on peut affirmer définitivement que seuls 19 et 54 conviennent.
je n'ai pas compris ta réponse pour la 2), pourquoi regarde-t-on p^n et pourquoi y-a-t-il p^(n-1) nombre qui ne sont pas premiers avec p^n?
Les p^(n-1) sont en fait p,2p,3p,4p,....,(p^(n-1)-1)*p et p^n. Ca en fait p^(n-1).Envoyé par 369
Les nombres non divisibles par p son évidement premiers avec p^n. (par exemple avec la relation de bézout élévée à l'ordre n)
Quod erat demonstrandum.
un nombre non premier avec p^n est un nombre qui multiplie p, il s'écrit donc kp avec k allant de 1 à p^(n-1) maximum
d'accord merci
