Méthode d'Euler

[invite1c8d7747]

Bonjour,

Dans mon cours j'ai une sorte d'explication de la méthode d'Euler que je ne comprends pas ou plus du tout.
Il est écrit:
f(a+h)=(à peu près égal à) f(a)+hf'(a)
Soit.
Mais après si on a les conditions f(0)=1 et f'=f
et que l'on a calculé:
pour a=0 (d'ailleurs pq 0 et pas 1?) f(h)=f(0)+hf'(0)
=f(0)(1+h) car f'=f
et pour h=0.1 f(0.1)= f(0)(1+0.1)=1.1*1=1.1

C'est logique mais après on a écrit:
f(0.2)=f(0.1+0.1)=f(0.1)*1.1=1 .1²=1.21 (alors que je me souviens que la prof avait dit que l'on utilisait pas f(x+y)=f(x)*f(y)...?)
Or si on applique là méthode d'avant ça fait:
f(0.2)=f(0)(1+h)=f(0)(1+0.2)=1 .2 ???

Et le h c'est le pas, ça d'accord, mais a ce n'est qu'un chiffre, donc si on décidait d'écrire, en suivant l'approximation affine:
f(a+h)=f(0+0.2)=f(0)+0.2f'(0) ce serait juste non ??

Bref de nombreuses choses que je n'ai pas compris, et comprendre m'aiderait bcp pour la suite (et pour mon DM, où cette fois-ci, h=0.2 et les propriétés sont f(0)=1 et f'(x)=0.5f(x))

Par avance, Merci beaucoup pour votre aide !
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[invitee27a8b07]

pour a=0 (d'ailleurs pq 0 et pas 1?) : parce que tu as la condition f(0)=1, donc f(a)=1 pour a=0...

la prof avait dit que l'on utilisait pas f(x+y)=f(x)*f(y) : tu ne l'as utilisé nulle part, c'est juste une coincidence qui ne vaut que pour le cas que tu étudies et l'approximation que tu fais...

Or si on applique là méthode d'avant ça fait: f(0.2)=f(0)(1+h)=f(0)(1+0.2)=1 .2 ??? : parce que ce sont des approximations, et non des égalités strictes.

[invite1c8d7747]

D'accord, d'abord merci, ça m'éclaire sur de nombreux points (= Mais je souhaiterai quelques précisions, par exemple pour le a, c'est sûr dire qu'il est égal à 0 nous arrange, mais pourquoi avons-nous le droit? Enfin, pourquoi peut on baser tous nos prochains calculs pour calculer les coordonnées avec a=0 ?
Et cette équation f(0.2)=f(0.1+0.1)=f(0.1)*1.1=1 .1²=1.21, je n'ai toujours pas compris, si on utilise pas f(x+y)=f(x)*f(y) alors comment passe-t-on de f(0.1+0.1) à f(0.1)*1.1 ?
Parce je ne vois pas quelle autre formule on a pu utilisé ici. Et j'aimerais prendre la plus précise pour mon DM (1.21 me semble mieux que 1.2)
Et aussi f(0.2)=f(0)(1+h)=f(0)(1+0.2)=1 .2 c'est juste, bien que moins précis alors?
et ça aussi c'est juste, enfin, on a le droit de remplacer ainsi f(a+h)=f(0+0.2)=f(0)+0.2f'(0) bien que comme la précédente, c'est moins précis?

Merci merci!!

[invitee27a8b07]

par exemple pour le a, c'est sûr dire qu'il est égal à 0 nous arrange, mais pourquoi avons-nous le droit? : les formules de maths, c'est bien, parce que c'est général... Pour tout a, et pour tout h "suffisamment petit", on peut écrire que f(a+h) vaut environ f(a)+hf'(a). Prendre une valeur particulière de a ne rend pas la formule caduque...

comment passe-t-on de f(0.1+0.1) à f(0.1)*1.1 ? : en récupérant et en remplaçant a par 0.1 (la valeur de départ) et h par 0.1 (la valeur qu'on lui ajoute), alors qu'ensuite tu prends a=0 comme point de départ et h=0.2 comme pas en avant. D'où les résultats différents.

Au niveau de la précision, je pense que ce sera toujours mieux de faire deux petits pas qu'un grand, parce qu'après chaque pas on va se réorienter différemment. Plus h est petit, plus l'approximation est précise. Donc la méthode qui considère f(0.2)=f(0.1+0.1) donne a priori un résultat plus précis. Si tu allais vers f(0.2) en quatre fois (en calculant f(0.05), puis f(0.1), puis f(0.15), et enfin f(0.2)), ton résultat serait encore plus précis. En l'occurrence, la vraie valeur de f(0.2) est 1.221403... (un jour, bientôt, tu sauras trouver les fonctions f telles que f'=f et tu comprendras d'où je tire ce résultat )

De rien de rien !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1c8d7747]

D'accord je comprends beaucoup mieux maintenant!
Merci beaucoup! Passe une bonne soirée (;