Bonjour,
Je suis bloquée sur un exo CCP et demande donc votre aide
On pose Un=f(1/n) avec f une fonction dérivable sur l'intervalle |0;1] (0 non compris)
On a pour information que la valeur absolue de f'(x) est inférieure ou égale à 1 sur cet intervalle.
Comment montrer que Un est une suite de Cauchy ?
Merci d'avance de votre aide =)
définition + formule de la moyenne.
On peut faire la formule de la moyenne en intégrant f' entre 0 et 1 même si f n'est pas dérivable en 0 ?
Si je le fais entre a et 1 (en prenant ensuite a=1/n qui tend vers 0), je trouve que :
l'intégrale entre a et 1 de f'(x) dx est inférieure à (1-a)
Et si je calcule classiquement cette intégrale je trouve f(1)-f(a) ...
Bonjour,
Utilise les accroissements finis, qui ne nécessitent pas la dérivabilité aux bornes de l'intervalle.
D'autant plus que l'utilisation de la formule de la moyenne est délictueuse puisqu'on ne suppose pas que f' soit intégrable.
Bonjour,
Ah oui je vois beaucoup mieux comme ca .
Juste une dernière petite question : donc je trouve |Up-Uq|<=1/p-1/q
mais je fais tendre p et q vers l'infini pour dire que |Up-Uq| est inférieur à tout epsilon?
et ce n'est pas grave de ne pas savoir que f est C1 ?
Attention il y a une différence entre formule de la moyenne et inégalité des accroissements finis:
la formule de la moyenne que tu veux utiliser doit supposer que f' est intégrable sur tout segment de ]0;1[ ce qui n' est pas précisé dans les hypothèses!
Par contre l'inégalité des accroissements finis permet de supposer seulement que f est dérivable (donc ici continue) en tout point de ]0;1[
car tu obtiens l f(x) - f(y) l < = l x-yl pour tout x,y de ]0;1[ donc la suite est de Cauchy!
Remarque :tu peux bien sur généraliser ce résultat en supposant seulement f non dérivable mais lipschitzsienne sur tout l intervalle ouvert ]0;1[ et prendre n'importe quelle suite de Cauchy, à
fortiori si tu prends une suite qui tend vers 0.
Non, tu te sers du fait que la suite de terme général 1/n est convergente.Envoyé par tripeuz
Au contraire, tu démontres le résultat en toute généralité, que f' soit continue ou non.
Bonjour,
Je pense que l'inégalité est plutôt.
On a besoin du caractère
dans les hypothèses que f' est bornée sur [0, 1], la continuité de la dérivée est donc inutile.
Pour le caractère C1 je comprend mieux pourquoi il n'est pas utile ici.
Par contre avec |Up-Uq|<=|1/p-1/q|, je ne vois pas comment trouver de no tel que :
pour tout epsilon dans R+* avec p>q=>no on ait|Up-Uq|<epsilon
...
Peut-on prendre p>q, |Up-Uq|<1/p et no=1/epsilon ?
Bis repetita : la suite de terme général 1/n est convergente...
Comme s’évertue à le dire God's Breath, la suite
Si p>q,
Désolé pour ma confusion entre formule des accroisements finis et formule de la moyenne (en fait je pensais à une autre formule).
Cordialement.
Parce que 1/n est une suite de cauchy, Un l'est ?
Aaah si c'est bon je viens de comprendre ..
Merci beaucoup à tous pour votre précieuse aide !
Bonne continuation
