Prolongement par continuité d'une série

[invited5b559be]

Bonjour,

Actuellement en fin de L2, je bloque sur une question d'analyse.



J'ai réussi à faire les deux premières questions de cet exercice (du moins je crois ; n'hésitez pas à me corriger si mon raisonnement est erroné !) :

1. u_n=n^3ke^-n3a=e^3k.ln(n)-n3a. J'utilise alors la règle de Cauchy : u_n=e^{3k.ln(n)/n-n2a} qui tend, lorsque n tend vers l'infini, vers 0 < 1, donc la série est convergente.

2. Soit a_n(x)=e^-n3x. a_n^(k)(x)=-n^3ke^-n3x. => je prouve, en faisant le sup (pour x supérieur à a) de la valeur absolue de a_n^(k)(x) (et j'utilise alors la question 1), la convergence normale de la somme des a_n^(k)(x).

Je sais que : si une série de fonctions converge en au moins un point x₀ de l'intervalle I considéré, et si la série des dérivées converge uniformément sur le même intervalle, alors la série est de classe C¹ sur I, et la dérivée de la série est égale à la série des dérivées.
J'utilise ce théorème sur u_n^(k-1) qui vérifie les deux hypothèses de par sa convergence normale, puis sur u_n^(k-2), ..., u_n. Finalement f est de classe C^k sur [a, [, donc de classe C.

3. Et là, je n'ai aucune idée de comment prouver le prolongement par continuité !

Si une âme charitable pouvait m'aider, je lui en serai bien entendu éternellement reconnaissante ! Merci d'avance !
-----

[invite57a1e779]

Bonjour,

Ca me paraît bien à quelques détails près : il manque un exposant sur u_n lors de l'utilisation de la règle de Cauchy en 1, et les dérivées me semble dépendre d'un facteur (-1)^k en 2.

Pour 3 : u_n(x) tend vers 1 lorsque x tend vers 0. Donc la somme partielle d'ordre n de la série tend vers n+1. Il n'est pas très difficile d'en déduire que la fonction f est de limite infinie en 0 et ne peut donc pas être prolongée par continuité.

[invited5b559be]

Oh, si simple que je n'y ai pas pensé ! Je cherchais un lien avec les questions précédentes là où il n'y en avait pas. Merci beaucoup !!
(Pour les autres questions, effectivement je me suis trompé en écrivant !)
J'en profite pour vous poser une dernière questions (qui n'a rien à voir, mais plutôt que de créer un topic pour pas grand chose...) : Comment prouver qu'une fonction est de classe C1 par morceaux ? (Par exemple, la fonction 1-périodique définie par f(0) = 1/2 et f(x) = x pour x appartenant à ]0,1[ ?)
Merci encore !

[invited5b559be]

Personne ne peut répondre à ma question ? (voir post ci-dessus)

Merci d'avance !

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

Avez-vous dessiné votre fonction pour voir quels seraient les morceaux où elle pourrait être C1 ?
Que pensez-vous de la fonction f(x)=x ?

[gg0]

Bonjour.

Comment prouver qu'une fonction est de classe C1 par morceaux ?

Comme toujours, soit en utilisant la définition (le plus simple dans ton cas), soit en utilisant un théorème qui a ça comme conclusion (si tu en as un).

Cordialement.

[invited5b559be]

J'ai un peu de mal avec les fonctions définies par morceaux en fait... ^^ Suffit-il de prouver qu'elle est C1 sur un morceau ouvert, et que les limites de f et f' existent à droite et à gauche des points de discontinuité ?

[gg0]

Quelle est la définition de C1 par morceaux ?

[breukin]

Pour moi, une continuité ou une dérivabilité en un point sans plus de précision signifie qu'on regarde ce qui se passe dans un voisinage du point, donc un ouvert autour de ce point.
Donc il s'agit de C1 sur les morceaux ouverts.
Si on voulait considérer les morceaux fermés, alors il faudrait demander les caractères "C1 à gauche" et "C1 à droite" pour signifier qu'on ne demande pas que ce soit "C1 tout court".