Bonjour,
Actuellement en fin de L2, je bloque sur une question d'analyse.
J'ai réussi à faire les deux premières questions de cet exercice (du moins je crois ; n'hésitez pas à me corriger si mon raisonnement est erroné !) :
1. un=n3ke-n3a=e3k.ln(n)-n3a. J'utilise alors la règle de Cauchy : un=e3k.ln(n)/n-n2a qui tend, lorsque n tend vers l'infini, vers 0 < 1, donc la série est convergente.
2. Soit an(x)=e-n3x. an(k)(x)=-n3ke-n3x. => je prouve, en faisant le sup (pour x supérieur à a) de la valeur absolue de an(k)(x) (et j'utilise alors la question 1), la convergence normale de la somme des an(k)(x).
Je sais que : si une série de fonctions converge en au moins un point x0 de l'intervalle I considéré, et si la série des dérivées converge uniformément sur le même intervalle, alors la série est de classe C1 sur I, et la dérivée de la série est égale à la série des dérivées.
J'utilise ce théorème sur un(k-1) qui vérifie les deux hypothèses de par sa convergence normale, puis sur un(k-2), ..., un. Finalement f est de classe Ck sur [a,[, donc de classe C
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3. Et là, je n'ai aucune idée de comment prouver le prolongement par continuité !
Si une âme charitable pouvait m'aider, je lui en serai bien entendu éternellement reconnaissante !Merci d'avance !
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