Régression Linéraire & Incertitudes (Statistique de Student,...)

[invite0d212215]

Bonjour !

Je suis entrain de travailler sur la caractérisation des incertitudes autour d'un problème d'étalonnage.

Le modèle est celui de la régression linéaire (moindres carrés), et la modèle est supposé valide (pas trop le choix).

J'ai ma droite y= a*x + b, et j'ai trouvé les incertitude sur a et b par la statistique de Student :




où :

• t_% est le coefficient de Student associé à N (Nombre de mesures) et un niveau de confiance %
• s_a et s_b les écart-types liées à a et b

Mon problème se pose après : Je souhaite, au final, avoir l'incertitude sur les valeurs y calculées à partir du modèle de régression :

Mes questions :
Pour avoir l'incertitude sur la valeur y que j'obtiens par a*x+b, est ce que je procède "brutalement" : y = (a±∆a)*x + (b±∆b), ou y a-t-il moyen d'agir plus finement ? Notamment, comme l'incertitude sur a et b est donné à un niveau de confiance précis, est ce que je garde le même niveau de confiance pour y ? Ça ne me semble pas évident...
N'ayant pas un accès direct à x (Grandeur donnée à partir d'un logiciel après une série de traitement), et donc pas de contrôle particulier sur sa précision, aux incertitudes sur a et b, est ce que j'ajoute l'incertitude sur x par le même type de formule que pour a et b ? Cette incertitude sur x n'a-t-elle pas déjà été prise en considération dans celles pour a et b, puisqu'ils sont déterminés par l'étalonnage, et donc le même procédé expérimental ? Dans le cas échéant, comment je peux présenter l'incertitude sur y, qui dépend alors de 3 incertitudes ?

Merci d'avance !
-----

[gg0]

Bonjour.

En fait, la justesse du modèle dépend de la valeur de x (si on calcule y, comme tu sembles le faire). Les coefficients a et b ont été calculés à partir d'un "nuage de points" de coordonnées . l'incertitude est de façon assez évidente plus faible si x est proche de la moyenne des , et bien plus forte si on est de l'ordre des valeurs extrêmes. Sur la représentation graphique, on peut ainsi tracer une zone de confiance à t%, avec deux "hyperboles" de part et d'autre de la droite de régression, une zone en tuyère, évasée aux deux bouts, plus serrée vers le point moyen.
Je ne connais pas assez la théorie pour t'en dire plus.

D'autre part, il me semble évident que l'incertitude sur x joue un rôle : On n'a pas tenu compte dans la construction du modèle d'incertitude sur les , seulement du fait qu'ils étaient aléatoires (ou pas, suivant les cas), et de même pour les . Les incertitudes sur a et b ne sont que la concrétisation de cet aspect aléatoire. D'ailleurs, une fois construit le modèle, rien n'interdit de l'utiliser pour le même phénomène mieux contrôlé (incertitude réduite) ou mal contrôlé (incertitude bien plus grande).

Cordialement.